拟牛顿法全局收敛性相关：余弦下界不等式的证明问询

我最近研读《数值优化》时碰到了一个推导瓶颈，想请大家帮忙理清思路：

先明确前提条件：

• 假设$B_k$是正定矩阵，且条件数一致有界，即存在常数$M$，使得
  $$ ||B_k||\cdot ||B_k^{-1}|| \leq M \quad \forall k\in\mathbb{N}, $$
• 记$\nabla f(x_k) := \nabla f_k$，且$p_k := -B_k^{-1} \nabla f_k$是下降方向。

书中（Nocedal & Wright，第二版，第40页）给出了一个结论，称易证：

$$ \cos \theta_k := \frac{-\nabla f_k^T p_k}{||\nabla f_k || \cdot ||p_k||} \geq \frac{1}{M}. $$

我自己尝试了两种推导路径：Cholesky分解$B_k =L L^T$，以及利用不等式$||x|| \leq ||B_k^{-1}||\cdot ||B_k x||$，但都没能成功推出这个结论。按道理这应该是个简洁的推导，但我就是卡壳找不到突破口，恳请各位大佬指点一二！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alain