群满同态f:G→ℤ₈相关问题：有限群G的性质判定

给定有限群( G )，存在群满同态( f: G \to \mathbb{Z}_8 )，我们来逐个分析选项：

选项(a)：( G )同构于( \mathbb{Z}_8 )——不成立 #

你举的例子非常精准：取( G = \mathbb{Z}{16} )，定义满同态( f: \mathbb{Z}{16} \to \mathbb{Z}8 )为( f(\bar{1}) = \bar{1} )，这个映射是满射，但( \mathbb{Z}{16} )的阶是16，和( \mathbb{Z}_8 )阶数不同，显然不同构，所以(a)直接排除。

选项(b)：( G )有8阶子群——必成立 #

根据同态基本定理，( G/\ker f \cong \mathbb{Z}_8 )，因此( |G| = 8 \times |\ker f| )，说明8整除( |G| )。根据Sylow子群存在定理，对于素数幂( 2^3=8 )整除群的阶，( G )必然存在8阶子群，所以(b)一定成立。

选项(c)：( G )有8阶正规子群——不一定成立 #

满同态只保证( G )有一个8阶商群，不必然存在8阶正规子群。比如我们可以构造一个非阿贝尔群( G )：它的Sylow 2-子群是16阶，所有8阶子群都不是正规的，但存在满同态映射到( \mathbb{Z}_8 )（比如通过商掉一个2阶正规子群得到( \mathbb{Z}_8 )）。这种情况下( G )没有8阶正规子群，所以(c)不是必成立的。

选项(d)：( G )有指数为2的正规子群——必成立 #

这是肯定成立的：( \mathbb{Z}_8 )中存在指数为2的正规子群( H = {0,2,4,6} )（即( 2\mathbb{Z}_8 )），满足( \mathbb{Z}_8/H \cong \mathbb{Z}_2 )。根据群同态的性质，原像( f^{-1}(H) )是( G )的正规子群，并且：
[ G/f^{-1}(H) \cong \mathbb{Z}_8/H \cong \mathbb{Z}_2 ]
这说明( [G: f^{-1}(H)] = 2 )，即( f^{-1}(H) )是( G )的指数为2的子群，而指数为2的子群必然是正规的，所以(d)一定成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user422112