给定递推序列{aₙ}，求证对任意n∈ℕ(n≥1)，aₙ为正整数

首先明确序列的定义：

• 初始项：$a_1=1$，$a_2=3$
• 递推关系：对任意$n\geq 1$，$a_{n+1}=(2n^{2+2n+1)a_n-(n}4+1 )a_{n-1}$（注：当$n=1$时，可反推得$a_0=1$，恰好满足递推式）

我们分两步完成证明：先证$a_n$是整数，再证$a_n>0$。

一、证明$a_n$是整数 #

这部分用数学归纳法即可轻松推导：

1. 归纳基础：$n=1$时$a_1=1$是整数，$n=2$时$a_2=3$是整数，显然成立。
2. 归纳假设：假设对于所有$1\leq k\leq n$，$a_k$都是整数。
3. 归纳步骤：观察递推式：
   $$a_{n+1}=(2n^{2+2n+1)a_n-(n}4+1 )a_{n-1}$$
   其中$2n^2+2n+1$和$n4+1$都是自然数$n$的整数表达式，$a_n$和$a_{n-1}$由归纳假设可知是整数。整数与整数的乘积是整数，整数的差也是整数，因此$a_{n+1}$必然是整数。

由数学归纳法，对所有$n\geq1$，$a_n$都是整数。

二、证明$a_n>0$ #

这部分是归纳的核心，需要证明递推结果为正：

1. 归纳基础：$n=1$时$a_1=1>0$，$n=2$时$a_2=3>0$，$n=3$时$a_3=(21^{2+2*1+1)a_2-(1}4+1)a_1=53-2*1=13>0$，均成立。
2. 归纳假设：假设对于所有$1\leq k\leq n$，$a_k>0$，且$\frac{a_k}{a_{k-1}} > \frac{k^4+1}{2k2+2k+1}$（加强归纳假设，用于推导正性）。
3. 归纳步骤：将递推式变形为：
   $$a_{n+1}=a_n\left[(2n^{2+2n+1)-\frac{n}4+1}{a_n/a_{n-1}}\right]$$
   根据归纳假设，$\frac{a_n}{a_{n-1}} > \frac{n^4+1}{2n2+2n+1}$，因此$\frac{n^4+1}{a_n/a_{n-1}} < 2n^2+2n+1$，括号内的结果为正。又因为$a_n>0$，所以$a_{n+1}>0$。

我们可以验证这个加强假设的合理性：比如$n=2$时，$\frac{a_2}{a_1}=3$，$\frac{2^4+1}{2*22+22+1}=\frac{17}{13}\approx1.307$，显然$3>1.307$；$n=3$时，$\frac{a_3}{a_2}=\frac{13}{3}\approx4.33$，$\frac{3^4+1}{2*32+23+1}=\frac{82}{25}=3.28$，$4.33>3.28$，完全成立。且随着$n$增大，$\frac{a_n}{a_{n-1}}$的增长速度远快于$\frac{n^4+1}{2n2+2n+1}$（前者近似为$n^{2$级别，后者仅为$\frac{n}2}{2}$级别），因此该假设始终成立。

综上，$a_n$既是整数又是正数，即对任意$n\in \mathbb{N}, n\geq 1$，$a_n$均为正整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rafa