Cohen-Macaulay簇闭点重数与相交数等式的推导咨询

我们一步步拆解这个推导过程，结合已知条件和Cohen-Macaulay簇的核心性质来梳理：

1. 回顾已知符号与基础设定 #

先明确所有关键对象：

• $X/\mathbb{C}$是**$d$维复正规Cohen-Macaulay簇**，$x\in X$是闭点，$m_x\subset\mathcal{O}_{X,x}$是$x$处的极大理想；
• $f:Y\to X$是$m_x$的奇点消解：$Y$光滑，$f$是双有理投射态射，且$m_x\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_Y(-E)$（$E$是$x$在$Y$中的逆像，即例外除子）；
• $H\subset X$是过$x$的一般超平面截面，其严格变换$\bar{H}\subset Y$满足$f^*H=\bar{H}+E$，且$\bar{H}$是$f$-无基点的（即$\mathcal{O}_Y(\bar{H})$在$f$的纤维上没有基点，保证$\bar{H}$与$E$的交集是有限点集）。

2. 利用Cohen-Macaulay性质关联原簇与超平面截面的重数 #

对于Cohen-Macaulay局部环$(R,m)$（这里$R=\mathcal{O}_{X,x}$，$m=m_x$），有一个核心重数性质：

若$h\in m$是参数元（即$h$不在任何极小素理想中，对应一般超平面截面$H$的局部定义函数），则原环的重数等于超平面截面局部环的重数：
$$\text{mult}_x X = \text{mult}x H$$
这是因为Cohen-Macaulay环中，参数元构成正则序列，商环$R/(h)=\mathcal{O}{H,x}$仍是Cohen-Macaulay环，且重数在正则序列下保持不变。

3. 消解下超平面截面的重数与相交数的联系 #

现在看超平面截面$H$的消解：$f|_{\bar{H}}:\bar{H}\to H$，这是$H$在$x$处的奇点消解（因为$f$是$X$的消解，且$H$是一般超平面，$\bar{H}$光滑）。

由$m_x\mathcal{O}Y=\mathcal{O}Y(-E)$，限制到$\bar{H}$上可得：
$$m{x,H}\mathcal{O}{\bar{H}} = \mathcal{O}{\bar{H}}(-E|{\bar{H}})$$
其中$m_{x,H}\subset\mathcal{O}_{H,x}$是$H$在$x$处的极大理想。

对于$d-1$维光滑簇$\bar{H}$，其例外除子$E|{\bar{H}}$的自交数$(E|{\bar{H}})^{d-1}$等于$\text{mult}_x H$，推导如下：

• 根据重数的定义：
  $$\text{mult}x H = \lim{k\to\infty}\frac{(d-1)!}{k^{{d-1}}\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{O}_{H,x}/m_{x,H}}k$$
• 由于$f|{\bar{H}}$是投射双有理态射，且$H$是Cohen-Macaulay簇，高阶直像$R^if*\mathcal{O}{\bar{H}}(-kE|{\bar{H}})=0$（$i>0$），因此：
  $$\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{O}{H,x}/m{x,H}^k = \chi(\mathcal{O}{\bar{H}}/\mathcal{O}{\bar{H}}(-kE|{\bar{H}})) = \chi(\mathcal{O}{\bar{H}}(kE|{\bar{H}})) - \chi(\mathcal{O}{\bar{H}})$$
• 对$\mathcal{O}{\bar{H}}(kE|{\bar{H}})$应用黎曼-Roch定理，首项为$\frac{(kE|_{\bar{H}})^{d-1}}{(d-1)!}$，代入重数定义即可得：
  $$\text{mult}x H = (E|{\bar{H}})^{d-1}$$

4. 相交数的转换：从$\bar{H}$到$Y$ #

最后一步是把$\bar{H}$上的自交数转换为$Y$上的相交数：

$Y$上的相交数$(E\cdot\bar{H}^{{d-1})$恰好等于$\bar{H}$上的自交数$(E|_{\bar{H}})}{d-1}$。

这是相交数的基本性质：对于$Y$上的Cartier除子$E$和$\bar{H}$，$E\cdot\bar{H}^{d-1}$定义为$E$与$\bar{H}$相交$d-1$次的局部长度之和，而这正好是$E|{\bar{H}}$在$\bar{H}$上的$(d-1)$次自交数（因为$\bar{H}$是$d-1$维簇，$E|{\bar{H}}$是其上的除子，自交数就是这些局部长度的总和）。

5. 整合所有步骤 #

把上述结论串联起来：
$$\text{mult}_x X = \text{mult}x H = (E|{\bar{H}})^{d-1} = (E\cdot\bar{H}^{d-1})$$
这就完成了等式的推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Li Yutong