通过自函子的迹的扩张函子：所定义U-扩张范畴的标准名称是什么？

你定义的这个构造在范畴论中有明确的标准名称，它属于**切片范畴（slice category）**的一个特例，具体来说是：

正式名称 #

从恒等函子$\text{id}_C$到复合函子$U\circ - : [C,D] \to [C,C]$的切片范畴，通常简写为$(\text{id}_C \downarrow U\circ -)$。

为什么这么称呼？ #

切片范畴的核心定义是：给定一个函子$G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$和$\mathcal{B}$中的一个对象$B$，切片范畴$(B \downarrow G)$的对象是二元组$(A, f)$，其中$A \in \mathcal{A}$，$f: B \to G(A)$是$\mathcal{B}$中的态射；态射是$\mathcal{A}$中的态射$a: A_1 \to A_2$，满足$G(a) \circ f_1 = f_2$。

对应到你的构造：

• $\mathcal{A}$是函子范畴$[C,D]$（所有从$C$到$D$的函子构成的范畴）
• $\mathcal{B}$是函子范畴$[C,C]$（所有从$C$到自身的函子构成的范畴）
• $G$是复合函子$U\circ -$：把每个函子$F: C\to D$映射为$U\circ F: C\to C$
• $B$是$[C,C]$中的恒等函子$\text{id}_C$
• 你的对象$(F, \eta)$正好是$(B \downarrow G)$中的对象：$\eta$是$\mathcal{B}$中的态射（自然变换）$\text{id}_C \Rightarrow U\circ F$
• 你的态射$\xi: F_1\Rightarrow F_2$正好是$(B \downarrow G)$中的态射：满足$U\circ\xi \circ \eta_1 = \eta_2$

相关联系 #

这个范畴和左伴随函子的概念紧密相关：如果$U$有左伴随函子$F_0: C\to D$，那么对应的单位自然变换$\eta_0: \text{id}_C \Rightarrow U\circ F_0$会是这个切片范畴中的初始对象——即存在唯一的态射从$(F_0, \eta_0)$到范畴中的任意其他对象$(F, \eta)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Omer Rosler