正对称分布下$E[\frac{1}{X}]$的下界推导求助

你已经用Jensen不等式得到了一阶下界$E\left[\frac{1}{X}\right] \geq \frac{1}{m}$，要得到包含方差的二阶项，关键是利用分布关于均值$m$对称的条件，通过配对同分布的随机变量来推导，具体步骤如下：

步骤1：利用对称性构造配对变量 #

因为$X$的分布关于$m$对称，所以随机变量$2m - X$与$X$同分布（对称意味着$P(X \leq m - t) = P(X \geq m + t)$对任意$t$成立，因此$2m - X$和$X$具有完全相同的分布）。由此可得：
$$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{2m - X}\right]$$

步骤2：计算配对变量的倒数和 #

将两个倒数相加并化简：
$$\frac{1}{X} + \frac{1}{2m - X} = \frac{(2m - X) + X}{X(2m - X)} = \frac{2m}{2mX - X^2}$$
把分母整理为关于$m$的平方差形式：
$$2mX - X^2 = m^2 - (X - m)^2$$
因此：
$$\frac{1}{X} + \frac{1}{2m - X} = \frac{2m}{m^2 - (X - m)^2}$$

步骤3：对倒数和做下界估计 #

我们需要证明这个和大于等于$2\left(\frac{1}{m} + \frac{(X - m)^2}{m3}\right)$，通过做差验证非负性：
$$
\begin{align*}
\frac{2m}{m^2 - (X - m)^2} - 2\left(\frac{1}{m} + \frac{(X - m)^2}{m3}\right) &= \frac{2m}{m^2 - (X - m)^2} - \frac{2(m^2 + (X - m)^2)}{m3} \
&= \frac{2m^4 - 2(m^2 - (X - m)^2)(m2 + (X - m)^2)}{m3(m^2 - (X - m)^2)} \
&= \frac{2m^4 - 2(m^4 - (X - m)^4)}{m3(m^2 - (X - m)^2)} \
&= \frac{2(X - m)^4}{m3(m^2 - (X - m)^2)}
\end{align*}
$$
因为$X$是正随机变量且关于$m$对称，所以$m > |X - m|$几乎处处成立（否则会出现$X \leq 0$的矛盾情况），因此分母$m^2 - (X - m)^2 > 0$，分子$(X - m)^4 \geq 0$，整个差值非负，即：
$$\frac{1}{X} + \frac{1}{2m - X} \geq 2\left(\frac{1}{m} + \frac{(X - m)^2}{m3}\right)$$

步骤4：两边取期望得到最终不等式 #

结合步骤1的结论，左边的期望为：
$$E\left[\frac{1}{X} + \frac{1}{2m - X}\right] = 2E\left[\frac{1}{X}\right]$$
右边的期望展开后：
$$E\left[2\left(\frac{1}{m} + \frac{(X - m)^2}{m3}\right)\right] = 2\left(\frac{1}{m} + \frac{E[(X - m)^2]}{m3}\right) = 2\left(\frac{1}{m} + \frac{\sigma^2}{m3}\right)$$
两边同时除以2，就得到目标不等式：
$$E\left[\frac{1}{X}\right] \geq \frac{1}{m} + \frac{\sigma^2}{m3}$$

这里的对称性是核心前提——它让我们能通过配对$X$和$2m-X$来构造对称的倒数和，避开了凸函数二阶泰勒展开的局限性，顺利完成二阶下界的推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ethan