定义域x,y∈(0,1]、a>0时，函数1/(xy)log(xya+1)是否为凸函数？

我来分享几个绕开复杂Hessian计算的思路，帮你快速判断这个函数的凸性：

思路1：转化为一元函数，结合凹凸性的复合性质 #

首先注意到函数可以改写为关于$t=xy$的一元函数：
$$f(t) = \frac{\log(at+1)}{t}, \quad t∈(0,1]$$
我们先分析这个一元函数的两个关键性质：

1.1 $f(t)$是单调递减的 #

计算一阶导数：
$$f'(t) = \frac{\frac{at}{at+1} - \log(at+1)}{t^2}$$
令$u=at>0$，则分子为$\frac{u}{u+1} - \log(u+1)$。对这个式子求导得$\frac{-u}{(u+1)^2}<0$，且当$u=0$时分子为0，因此分子在$u>0$时恒小于0，即$f'(t)<0$，说明$f(t)$在$(0,1]$上单调递减。

1.2 $f(t)$是凸函数 #

计算二阶导数（化简后）：
最终可推导出$f''(t) = \frac{k(u)}{t^{3}$，其中$k(u)=2\log(u+1)-\frac{3u}2+2u}{(u+1)^{2}$（$u=at>0$）。对$k(u)$求导得$k'(u)=\frac{2u}2}{(u+1)^3}>0$，且$k(0)=0$，因此$k(u)>0$，即$f''(t)>0$，说明$f(t)$是凸函数。

1.3 结合$t=xy$的凹性推导二元函数的凹凸性 #

在定义域$(0,1]×(0,1]$上，$t=xy$是凹函数（其Hessian矩阵的行列式为负，二阶偏导均非正）。

对于凸函数$f(t)$和凹函数$t=xy$，再结合$f(t)$单调递减的性质：
任取两个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，以及$\lambda∈(0,1)$，有：
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(\lambda y_1+(1-\lambda)y_2) \geq \lambda x_1y_1 + (1-\lambda)x_2y_2$$
（凹函数的定义：凸组合的函数值≥函数值的凸组合）

由于$f(t)$单调递减且凸，因此：
$$f\left((\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(\lambda y_1+(1-\lambda)y_2)\right) \leq f\left(\lambda x_1y_1 + (1-\lambda)x_2y_2\right) \leq \lambda f(x_1y_1) + (1-\lambda)f(x_2y_2)$$
这正好符合凹函数的定义，因此原二元函数$f(x,y)$是凹函数，而非凸函数。

思路2：通过具体例子验证凹性 #

取$a=2$，两个点$(1,1)$和$(0.5,0.5)$：

• $f(1,1)=\log(2×1+1)/1≈1.0986$
• $f(0.5,0.5)=\log(2×0.25+1)/0.25≈1.622$
• 两点的函数值平均为$(1.0986+1.622)/2≈1.3603$

取凸组合$\lambda=0.5$，得到点$(0.75,0.75)$：

• $f(0.75,0.75)=\log(2×0.5625+1)/0.5625≈1.339$

显然$1.339 < 1.3603$，满足凹函数的定义（凸组合的函数值≤函数值的凸组合），和你绘图观察的结果一致。

补充说明：为什么不能直接用$\frac{1}{xy}$的凸性推导 #

$\frac{1}{xy}$是凸函数，但$\log(xya+1)$是凹函数（对数函数是凹的，且$xya+1$是线性函数，凹函数复合线性函数仍为凹）。凸函数乘凹函数的凹凸性没有固定结论，因此不能直接通过这个性质判断原函数的凸性，必须结合更具体的函数结构分析。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Curious_Dim