$\mathbb{R}^n$中收敛于0的序列是否满足指定收敛速度条件的求证

首先直接给出结论：不存在这样的下标$k_0$，我们可以通过构造一个反例来证明这一点。

反例构造思路 #

我们需要构造一个收敛于0的序列${d_k}$，满足题目中的两个条件，但对于所有足够大的$k$，$|d_{k+1}| > \frac{1}{2}|d_k|$，从而说明不存在这样的$k_0$。

具体构造如下（我们只需要定义序列的范数，再乘以$\mathbb{R}^n$中的任意单位向量即可得到完整序列）：

• 初始化：令$|d_1| = 1$；
• 递归定义：对于每个正整数$m \geq 1$，当序列当前项的范数为$\frac{1}{m}$时，我们生成后续的项：
  1. 对于$t = 0, 1, ..., T_m - 1$，令$|d_{k+t+1}| = \frac{1}{2}|d_{k+t}| + \frac{1}{m \cdot 2^{t+1}}$，其中$T_m$是满足$|d_{k+T_m}| \leq \frac{1}{m+1}$的最小正整数；
  2. 令$|d_{k+T_m}| = \frac{1}{m+1}$，开启下一轮递归。

验证条件 #

1. 序列收敛于0：随着$m$增大，$\frac{1}{m}$趋近于0，序列的范数最终会降到任意小的正数，因此${d_k}$收敛于0，满足题目中的第一个条件；
2. 满足$|d_{k+1}| \leq \frac{1}{2}\varepsilon + o(\varepsilon)$：对于任意$\varepsilon > 0$，取足够大的$m$使得$\frac{1}{m} < \varepsilon$。此时：
   • 若$|d_k|$处于从$\frac{1}{m}$到$\frac{1}{m+1}$的递减阶段，则$|d_{k+1}| = \frac{1}{2}|d_k| + \frac{1}{m \cdot 2^{t+1}}$，其中$\frac{1}{m \cdot 2^{t+1}} \leq \frac{1}{m} < \varepsilon$，且当$\varepsilon \to 0$时，$\frac{1}{m} = O(\varepsilon)$，因此这一项是$o(\varepsilon)$，满足$|d_{k+1}| \leq \frac{1}{2}\varepsilon + o(\varepsilon)$；
   • 若$|d_k| = \frac{1}{m+1}$，则$|d_{k+1}| = \frac{1}{m+1}$，而$\frac{1}{m+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{m} + o(\frac{1}{m})$（因为$\frac{1}{m+1} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m(m+1)}$，其中$\frac{1}{m(m+1)} = o(\frac{1}{m})$），当$\varepsilon > \frac{1}{m}$时，自然满足$|d_{k+1}| \leq \frac{1}{2}\varepsilon + o(\varepsilon)$。

关键结论 #

在这个序列的每一步递推中，$|d_{k+1}|$都等于$\frac{1}{2}|d_k|$加上一个正数，因此对于所有$k$，都有$|d_{k+1}| > \frac{1}{2}|d_k|$，这意味着不存在任何下标$k_0$，使得当$k \geq k_0$时，$|d_{k+1}| \leq \frac{1}{2}|d_k|$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aleio1