关于$F(x) = \int_{I_{a,x}} f(t) dt$偏导数的疑问（佐里奇《数学分析II》）

我来帮你拆解这个问题的推导过程——其实从偏导数定义出发完全能搞定，核心是结合重积分的累次积分定理和连续函数的性质来简化计算：

首先明确两个关键前提：

• $f$在$n$维矩形$I_{a,b}$上连续，因此它的重积分存在，且可通过富比尼定理（累次积分定理）转化为逐次积分；
• $F(x)$是从左下角点$a=(a_1,\dots,a_n)$到点$x=(x_1,\dots,x_n)$的$n$维矩形区域$I_{a,x}$上的重积分，即$F(x) = \int_{I_{a,x}} f(t) dt$。

对任意变量$x_k$的偏导数推导 #

我们固定除$x_k$之外的所有变量（记这部分固定的“部分点”为$\tilde{x}=(x_1,\dots,x_{k-1},x_{k+1},\dots,x_n)$），只让$x_k$变化，根据偏导数的定义：
$$
\frac{\partial F}{\partial x_k}(x) = \lim_{\Delta x_k \to 0} \frac{F(x_1,\dots,x_k+\Delta x_k,\dots,x_n) - F(x_1,\dots,x_k,\dots,x_n)}{\Delta x_k}
$$

步骤1：计算差商的分子 #

分子是两个重积分的差，对应两个$n$维矩形区域的差集$D$：
$$
F(x+\Delta x_k e_k) - F(x) = \int_{I_{a,x+\Delta x_k e_k}} f(t) dt - \int_{I_{a,x}} f(t) dt = \int_{D} f(t) dt
$$
其中$D$是第$k$个维度上从$x_k$到$x_k+\Delta x_k$、其他维度与$I_{a,x}$一致的矩形区域：
$$
D = {t \in \mathbb{R}^n \mid a_1 \leq t_1 \leq x_1, \dots, x_k \leq t_k \leq x_k+\Delta x_k, \dots, a_n \leq t_n \leq x_n}
$$

步骤2：用累次积分拆分重积分 #

借助富比尼定理，把$D$上的重积分拆成先对$t_k$积分、再对剩余$n-1$个变量积分的累次积分：
$$
\int_{D} f(t) dt = \int_{I_{a,\tilde{x}}} \left( \int_{x_k}^{x_k+\Delta x_k} f(t_1,\dots,t_k,\dots,t_n) dt_k \right) d\tilde{t}
$$
这里$I_{a,\tilde{x}}$是去掉第$k$个维度的$n-1$维矩形：${ (t_1,\dots,t_{k-1},t_{k+1},\dots,t_n) \mid a_i \leq t_i \leq x_i, i \neq k }$，$\tilde{t}$代表这个$n-1$维变量。

步骤3：用积分中值定理简化内层积分 #

因为$f$连续，对关于$t_k$的内层积分应用积分中值定理：存在$\xi_k \in [x_k, x_k+\Delta x_k]$（若$\Delta x_k < 0$则区间反转），使得：
$$
\int_{x_k}^{x_k+\Delta x_k} f(t_1,\dots,t_k,\dots,t_n) dt_k = f(t_1,\dots,\xi_k,\dots,t_n) \cdot \Delta x_k
$$

将其代入累次积分，差商就变成：
$$
\frac{F(x+\Delta x_k e_k) - F(x)}{\Delta x_k} = \int_{I_{a,\tilde{x}}} f(t_1,\dots,\xi_k,\dots,t_n) d\tilde{t}
$$

步骤4：取极限得到偏导数 #

当$\Delta x_k \to 0$时，$\xi_k \to x_k$。由于$f$在紧集$I_{a,b}$上一致连续，$f(t_1,\dots,\xi_k,\dots,t_n)$会一致收敛到$f(t_1,\dots,x_k,\dots,t_n)$，因此可以交换极限与积分的顺序，得到：
$$
\frac{\partial F}{\partial x_k}(x) = \int_{I_{a,\tilde{x}}} f(t_1,\dots,x_k,\dots,t_n) d\tilde{t}
$$

结论总结 #

对每个$k=1,2,\dots,n$，$F(x)$关于$x_k$的偏导数，等于固定$t_k=x_k$后，$f$在去掉第$k$个维度的$n-1$维矩形$I_{a,\tilde{x}}$上的积分。

特别地，当$n=1$时，这个结果就退化为一元函数的变上限积分求导法则：$\frac{dF}{dx}(x)=f(x)$，完美吻合我们的认知。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Our