博雷尔函数的点收敛集是否为博雷尔集？含度量空间场景问询

咱们来逐个拆解这两个关于博雷尔函数与集合可测性的问题：

问题1：博雷尔函数的点收敛集是否属于博雷尔集？ #

首先明确一下，这里的“点收敛集”指的是博雷尔函数列${f_n}$的逐点收敛点全体，也就是集合：
$$C = {x \in X : \lim_{n\to\infty} f_n(x) \text{ 存在}}$$

答案是：不一定，这取决于空间$X$的性质。

• 如果$X$是波兰空间（比如欧氏空间$\mathbb{R}^k$、完备可分度量空间这类常见空间），那么$C$是一个解析集（Suslin集）——解析集是包含所有博雷尔集的更大集合类，但存在一些解析集不是博雷尔集。具体来说，我们可以构造出博雷尔函数列，其收敛集$C$就是这类非博雷尔的解析集。
• 当然，如果给$X$或者函数列加额外限制（比如$X$是紧致度量空间，或者函数列是一致有界的连续函数列），可能会让$C$成为博雷尔集，但这不是普遍情况。

问题2：集合$A = {x\in X\colon \lim_{n\to\infty} f_n(x) = x_0}$是否为博雷尔子集？ #

这个问题的答案是肯定的，$A$一定是博雷尔集，这里有两种思路可以证明：

思路一：利用逐点极限的博雷尔可测性 #

题目里已经给出“博雷尔函数的逐点极限仍为博雷尔函数”，那我们可以直接定义：
$$g(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$$
（在收敛点处$g(x)$有定义，非收敛点其实不影响$A$的定义，因为$A$只包含收敛到$x_0$的点）

那么集合$A$可以等价写成：
$$A = {x \in X : g(x) = x_0}$$
在度量空间中，单点集${x_0}$是闭集，因此属于博雷尔集。而博雷尔函数的核心性质之一就是原像保持博雷尔集的可测性——也就是说，$g^{-1}({x_0})$必然是博雷尔集，所以$A$是博雷尔集。

思路二：直接用度量空间的极限定义构造 #

如果不用题目给出的那个条件，我们也能直接推导：
在度量空间中，$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = x_0$等价于：

对任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，使得所有$n \geq N$时，$d(f_n(x), x_0) < \epsilon$

因为有理数在正实数中稠密，我们可以用可数个有理数$\epsilon = 1/k$（$k=1,2,\dots$）来代替所有$\epsilon$，这样$A$就能用可数的交并运算表示：
$$A = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty} {x \in X : d(f_n(x), x_0) < 1/k}$$

现在逐个分析里面的集合：

• $d(f_n(x), x_0)$是博雷尔函数：因为$f_n$是博雷尔函数，度量$d(\cdot, x_0)$是连续函数（连续函数必然是博雷尔函数），两个博雷尔函数的复合仍然是博雷尔函数。
• ${x : d(f_n(x), x_0) < 1/k}$是博雷尔集：这是博雷尔函数$d(f_n(\cdot), x_0)$对开集$(-\infty, 1/k)$的原像，博雷尔函数的原像保持博雷尔可测性，所以这个集合是博雷尔集。
• 可数交和可数并的博雷尔集仍然是博雷尔集：博雷尔集类对可数交、可数并运算封闭，因此整个$A$作为这些集合的可数交并组合，必然是博雷尔集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user512365