二元函数偏导连续性、极限与函数连续性的判定问题

咱们先把核心前提明确：题目里给出的偏导数$f_x = \frac{x}{\sqrt{x^2-y2}}$和$f_y = \frac{y}{\sqrt{x^2-y2}}$，定义域是所有满足$x^2 \neq y^{2$的$\mathbb{R}}2$上的点——也就是说，直线$y=x$和$y=-x$上的所有点（包括$(0,0)$）都不在这两个偏导数的定义范围内，这是判断后续命题的关键。

下面逐个分析四个命题：

命题(i)：$\displaystyle \lim_{{(x,y)\to (2,-1) }} f(x,y)$存在 #

点$(2,-1)$满足$2^2 \neq (-1)^2$，属于偏导数的定义域区域。咱们可以先推导原函数：对$f_x$关于$x$积分，能得到$f(x,y) = \sqrt{x^2 - y^2} + C(y)$（$C(y)$是仅关于$y$的函数），调整常数项后可以得到符合$f_y$的原函数形式。不管具体形式如何，$(2,-1)$是定义域的内点，在它的邻域内$f$有定义，且沿着任意不穿过$x^2=y2$的路径趋近于该点时，$f(x,y)$的极限都能收敛到确定值，所以这个极限是存在的。命题(i)成立。

命题(ii)：$f(x,y)$在$(2,-1)$处连续 #

既然$(2,-1)$是定义域内点，且$f_x$、$f_y$在该点的邻域内存在且连续（代入计算就能看到，当$(x,y)\to(2,-1)$时，$f_x$和$f_y$的极限等于它们在该点的函数值），根据多元函数可微的判定定理：偏导数在某点连续则函数在该点可微，而可微函数必然连续。所以命题(ii)也成立。

命题(iii)：$f_x$与$f_y$在$(0,0)$处不连续 #

这里要敲黑板：讨论函数的连续性，前提是函数在该点有定义。$(0,0)$满足$0²⁼⁰2$，不在$f_x$和$f_y$的定义域里，根本不存在“在该点连续/不连续”的说法——不连续的定义是“函数在该点有定义，但极限不存在，或极限不等于函数值”，没有定义的点连讨论的资格都没有。所以命题(iii)完全不合理，是错误的。

命题(iv)：$f_x$与$f_y$在全体实数域上连续 #

首先，全体实数域$\mathbb{R}^{2$包含了所有$x}2=y^2$的点，这些点上$f_x$和$f_y$都没有定义，连“在该点有定义”都做不到，更别说连续了。退一步说，即使在定义域内，比如趋近于直线$y=x$上的点（比如$(a,a)$，$a\neq0$），$f_x = \frac{x}{\sqrt{x^2-y2}}$的分母趋近于0，函数值趋近于无穷大，极限不存在，也不可能连续。所以命题(iv)显然不成立，完全不合理。

最终结论 #

成立的命题是(i)和(ii)；(iii)和(iv)都不合理，不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arnab Chattopadhyay.