用生成函数求递推关系闭式解：完成给定递推式求解

嘿，你已经完成了生成函数推导里最核心的部分，接下来咱们一步步把分式分解和幂级数展开做透，最终得到递推关系的闭式解。

首先回顾你已经完成的推导：

给定递推关系：
$$\begin{cases} a_{n+1} = a_n + n & (n\geq0)\ a_0 = 0 \end{cases}$$
设生成函数 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$，推导得到：
$$f(x) = \frac{x^2}{(1-x)3}$$

接下来进入分式分解与幂级数展开环节：

步骤1：拆分生成函数并利用已知展开式 #

我们可以把$f(x)$拆成$x^{2$乘以$\frac{1}{(1-x)}3}$，即：
$$f(x) = x^2 \cdot \frac{1}{(1-x)^3}$$

这里需要用到一个经典的生成函数结论：对于正整数$k$，有
$$\frac{1}{(1-x)^k} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+k-1}{k-1} x^n$$
其中$\binom{n+k-1}{k-1}$是组合数（也叫“星形数”组合公式）。当$k=3$时，代入得：
$$\frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2} x^n$$
而组合数$\binom{n+2}{2}$可以展开为$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$，所以上式也可以写成：
$$\frac{1}{(1-x)^3} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^n$$

步骤2：将$x^2$代入并调整求和下标 #

把$x^2$乘到展开式里：
$$f(x) = x^2 \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2} x^n = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2} x^{n+2}$$

为了和生成函数定义$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$对应，我们做下标替换：令$k = n+2$，则$n = k-2$。当$n=0$时，$k=2$；当$n\to\infty$时，$k\to\infty$。替换后得到：
$$f(x) = \sum_{k=2}^\infty \binom{k}{2} x^k$$

步骤3：匹配系数得到闭式解 #

对比生成函数的定义，我们可以直接读出$a_k$的表达式：

• 当$k=0$时，$a_0=0$（符合初始条件）；
• 当$k=1$时，$a_1=0$（代入递推式$a_1=a_0+0=0$，也对应$\binom{1}{2}=0$）；
• 当$k\geq2$时，$a_k = \binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$。

可以验证一下这个结果满足递推关系：
$$a_{n+1} = \frac{(n+1)n}{2}$$
$$a_n + n = \frac{n(n-1)}{2} + n = \frac{n^2 -n +2n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$
两者完全相等，说明闭式解正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christian Giupponi