求证：若f:ℂ→ℂ为解析函数，则g(z)=\overline{f(\overline{z})}亦解析

你这个思路方向是对的，但中间处理共轭运算的时候有点小疏漏，咱们把推导补严谨，再用两种方法确认一下：

方法一：利用导数定义推导 #

已知(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C})是解析函数，即(f)在定义域内每一点都可导。对任意(z_0\in\mathbb{C})，我们计算(g'(z_0))的极限：
[
g'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z\to z_0} \frac{\overline{f(\overline{z})}-\overline{f(\overline{z}_0)}}{z-z_0}
]
这里要用到共轭运算的两个关键性质：

• (\overline{a}-\overline{b} = \overline{a-b})（共轭的差等于差的共轭）
• (z-z_0 = \overline{\overline{z}-\overline{z}_0})（因为(\overline{z-z_0}=\overline{z}-\overline{z_0})，两边取共轭就得到这个等式）

把这两个性质代入分式，可得：
[
\frac{\overline{f(\overline{z})}-\overline{f(\overline{z}_0)}}{z-z_0} = \frac{\overline{f(\overline{z})-f(\overline{z}_0)}}{\overline{\overline{z}-\overline{z}_0}} = \overline{\frac{f(\overline{z})-f(\overline{z}_0)}{\overline{z}-\overline{z}0}}
]
接下来，因为共轭运算在(\mathbb{C})上是连续的，极限运算可以和共轭运算交换顺序，所以：
[
\lim{z\to z_0} \overline{\frac{f(\overline{z})-f(\overline{z}_0)}{\overline{z}-\overline{z}0}} = \overline{\lim{z\to z_0} \frac{f(\overline{z})-f(\overline{z}_0)}{\overline{z}-\overline{z}0}}
]
当(z\to z_0)时，(\overline{z}\to\overline{z_0})（共轭映射的连续性），令(w=\overline{z})，则当(z\to z_0)时(w\to\overline{z_0})，上面的极限就转化为：
[
\overline{\lim{w\to\overline{z_0}} \frac{f(w)-f(\overline{z_0})}{w-\overline{z_0}}} = \overline{f'(\overline{z_0})}
]
因为(f)解析，(f'(\overline{z_0}))存在，所以(g'(z_0))存在，即(g)在任意(z_0)处可导，因此(g)是解析函数。

方法二：利用柯西-黎曼方程验证 #

设(f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y))，其中(u,v)是实值函数。因为(f)解析，所以(u,v)满足柯西-黎曼方程，且偏导数连续：

• (\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y})
• (\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x})

现在计算(g(z))的实部和虚部：
[
f(\overline{z}) = f(x-iy) = u(x,-y)+iv(x,-y)
]
取共轭后：
[
g(z) = \overline{f(\overline{z})} = u(x,-y) - iv(x,-y)
]
令(g(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y))，则(U(x,y)=u(x,-y))，(V(x,y)=-v(x,-y))。

计算(U,V)的偏导数：

1. 验证第一组柯西-黎曼方程：
   [
   \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}(x,-y), \quad \frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial y}(x,-y)\cdot(-1) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,-y)
   ]
   由(f)的柯西-黎曼方程，(\frac{\partial u}{\partial x}(x,-y)=\frac{\partial v}{\partial y}(x,-y))，所以(\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial y})。

2. 验证第二组柯西-黎曼方程：
   [
   \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}(x,-y)\cdot(-1) = -\frac{\partial u}{\partial y}(x,-y), \quad \frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,-y)
   ]
   由(f)的柯西-黎曼方程，(\frac{\partial u}{\partial y}(x,-y)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x,-y))，代入得：
   [
   \frac{\partial U}{\partial y} = -(-\frac{\partial v}{\partial x}(x,-y)) = \frac{\partial v}{\partial x}(x,-y) = -\left(-\frac{\partial v}{\partial x}(x,-y)\right) = -\frac{\partial V}{\partial x}
   ]

可见(U,V)也满足柯西-黎曼方程，且因为(u,v)的偏导数连续，(U,V)的偏导数也连续，所以(g)是解析函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user30523