如何通过代入k=2m+n将左侧二重求和式转化为右侧等式？
咱们要解决的是通过令 $k=2m+n$，把左侧的双重求和转换成右侧单求和的问题，原等式如下：
$$
\begin{align*}
&\mathrel{\phantom{=}}\sum_{m=1}{w-2}\sum_{n=2}{2w-2m-1} 2^{n-2} g(2m+n,2w-2m-n)\
&=\frac{1}{6}\sum_{k=4}{2w-1}[2{k-1}-3+(-1)^k] g(k,2w-k)
\end{align*}
$$
你已经理清了 $k$ 的范围是 $4 \le k \le 2w-1$，核心困惑在如何转换 $n$ 的边界得到右侧的系数，咱们一步步拆解：
第一步：绑定 $k$ 与 $(m,n)$ 的约束关系
由 $k=2m+n$ 可解出 $n = k-2m$，接下来把这个代入原始的 $m$、$n$ 约束，得到关于 $m$ 的不等式：
- 原始 $m$ 约束：$1 \le m \le w-2$
- 原始 $n$ 约束：$2 \le n \le 2w-2m-1$，代入 $n=k-2m$ 后：
- $k-2m \ge 2 \implies m \le \frac{k-2}{2}$
- $k-2m \le 2w-2m-1 \implies k \le 2w-1$（和已知的 $k$ 上限一致）
同时，$k=2m+n$ 结合 $m\ge1$、$n\ge2$，直接得出 $k$ 的最小值为 $2*1+2=4$，和右侧的下限匹配。
接下来我们需要对每个固定的 $k$，计算所有符合条件的 $m$ 对应的 $2{n-2}=2{k-2m-2}$ 的总和——这个总和就是右侧 $g(k,2w-k)$ 前的系数（再结合1/6的因子）。
第二步：分奇偶性计算系数和
因为 $k=2m+n$，$2m$ 是偶数，所以 $k$ 的奇偶性和 $n$ 一致，我们分两种情况讨论：
情况1：$k$ 为偶数，设 $k=2t$（$t\ge2$，对应 $k\ge4$）
此时 $m$ 的取值范围是 $1 \le m \le t-1$（结合 $m \le \frac{k-2}{2}=t-1$ 和 $m \le w-2$，当 $k\le2w-2$ 时，$t-1=w-2$，刚好满足外层 $m$ 的上限）。
系数和为等比数列求和：
$$
\sum_{m=1}{t-1}2{2t-2m-2} = 2{2t-2}\sum_{m=1}{t-1}\left(\frac{1}{4}\right)^m
$$
利用等比数列求和公式 $\sum_{i=1}^n r^i = \frac{r(1-r^n)}{1-r}$，代入 $r=\frac{1}{4}$、项数 $t-1$，可得：
$$
2^{2t-2} * \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{t-1}}\right) = \frac{2^{k-2}-1}{3} = \frac{2^{k-1}-2}{6}
$$
情况2：$k$ 为奇数，设 $k=2t+1$（$t\ge2$，对应 $k\ge5$）
此时 $m$ 的取值范围是 $1 \le m \le t-1$（结合 $m \le \frac{k-3}{2}=t-1$ 和 $m \le w-2$，当 $k=2w-1$ 时，$t-1=w-2$，满足外层 $m$ 的上限）。
系数和同样用等比数列求和：
$$
\sum_{m=1}{t-1}2{2t-2m-1} = 2{2t-1}\sum_{m=1}{t-1}\left(\frac{1}{4}\right)^m
$$
代入求和公式后化简可得：
$$
2^{2t-1} * \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{t-1}}\right) = \frac{2^{k-2}-2}{3} = \frac{2^{k-1}-4}{6}
$$
第三步：合并奇偶情况的统一表达式
现在把两种情况的系数用含 $(-1)^k$ 的式子统一：
- 当 $k$ 为偶数时，$(-1)^k=1$，则 $\frac{1}{6}(2{k-1}-3+1)=\frac{2{k-1}-2}{6}$，和偶数情况的系数匹配；
- 当 $k$ 为奇数时，$(-1)^k=-1$，则 $\frac{1}{6}(2{k-1}-3-1)=\frac{2{k-1}-4}{6}$，和奇数情况的系数匹配。
因此，两种情况可以合并为 $\frac{1}{6}[2{k-1}-3+(-1)k]$，这就和右侧的系数完全一致了。
最后验证一下：原始双重求和中每个 $g(k,2w-k)$ 对应的所有 $(m,n)$ 组合都被完整覆盖，求和后的系数正好是我们推导的结果，这样就完成了从左侧到右侧的转换。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者MOP
