求证当|z|=1或|w|=1时|(z-w)/(1-$ar{z}$w)|=1，求|w|=1时的推导提示

嘿，别担心，这个情况其实用复数模的基本性质就能轻松搞定，核心是利用模为1的复数的共轭等于其倒数（即$|w|=1 \implies w\bar{w}=1 \implies \bar{w}=1/w$），再结合模的平方等于自身与共轭的乘积这个技巧，咱们一步步来：

• 第一步：明确目标
  要证明分式的模为1，等价于证明$|z-w|=|1-\bar{z}w|$（因为$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$，只要分子分母模相等就行）。

• 第二步：利用模平方展开计算
  对复数来说，$|A|^2 = A \cdot \bar{A}$（$\bar{A}$表示A的共轭复数），这是解决模相等问题的常用工具，咱们分别计算两边的模平方：

  1. 计算$|1-\bar{z}w|^2$：

     |1-\bar{z}w|^2 = (1-\bar{z}w) \cdot \overline{(1-\bar{z}w)}
     = (1-\bar{z}w)(1 - z\bar{w})  // 共轭的性质：$\overline{\bar{z}}=z$，$\overline{w}=\bar{w}$
     = 1 - z\bar{w} - \bar{z}w + \bar{z}w \cdot z\bar{w}
     = 1 - z\bar{w} - \bar{z}w + |z|^2 \cdot |w|^2
     

     因为$|w|=1$，所以$|w|^2=1$，代入后：

     |1-\bar{z}w|^2 = 1 + |z|^2 - z\bar{w} - \bar{z}w
     

  2. 计算$|z-w|^2$：

     |z-w|^2 = (z-w) \cdot \overline{(z-w)}
     = (z-w)(\bar{z} - \bar{w})
     = z\bar{z} - z\bar{w} - w\bar{z} + w\bar{w}
     = |z|^2 - z\bar{w} - \bar{z}w + |w|^2
     

     同样代入$|w|^2=1$：

     |z-w|^2 = |z|^2 + 1 - z\bar{w} - \bar{z}w
     

• 第三步：对比结果
  你会发现$|1-\bar{z}w|^2$和$|z-w|2$完全相等！因为模是非负实数，所以它们的模必然相等，即$|z-w|=|1-\bar{z}w|$。

• 额外小技巧：更简洁的变形
  如果你想快速推导，也可以利用$|w|=1$时$\bar{w}=1/w$，把分母变形：

  1 - \bar{z}w = 1 - \bar{z}w \cdot \frac{\bar{w}}{\bar{w}} = \frac{\bar{w} - \bar{z}w\bar{w}}{\bar{w}} = \frac{\bar{w} - \bar{z}}{\bar{w}} = \frac{\overline{w - z}}{\bar{w}}
  

  此时分式变为：

  \frac{z-w}{1-\bar{z}w} = \frac{z-w}{\frac{\overline{w - z}}{\bar{w}}} = \frac{(z-w)\bar{w}}{\overline{w - z}} = \frac{-(w-z)\bar{w}}{-\overline{z - w}} = \frac{(w-z)\bar{w}}{\overline{z - w}}
  

  而$|(w-z)\bar{w}|=|w-z| \cdot |\bar{w}|=|w-z| \cdot 1=|z-w|$，$|\overline{z - w}|=|z-w|$，所以分式的模就是$\frac{|z-w|}{|z-w|}=1$，同样得证。

这样是不是就清晰多啦？核心就是抓住模为1的复数的共轭性质，再结合模的基本运算规则，问题就迎刃而解了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karen