图解线性规划最优解及目标函数修改后参数a的取值范围求解

咱们一步一步来拆解这个问题，核心思路其实很直白：线性规划的最优解一定落在可行域的顶点上，所以只要保证(5,5)这个顶点的目标函数值，不小于可行域里其他所有顶点的目标函数值，它就还是最优解（甚至可能和其他顶点一起构成最优线段）。

首先先明确可行域的所有顶点，根据约束条件$x_1+x_2\leq 10$、$2x_1-x_2 \leq 5$、$x_1,x_2 \geq 0$，可行域是个四边形，四个顶点分别是：

• (0, 0)：两个坐标轴的交点；
• (0, 10)：$x_1=0$时，$x_2$的最大值；
• (5, 5)：两个主要约束的交点（原最优解）；
• (2.5, 0)：$x_2=0$时，$x_1$的最大值（由$2x_1 \leq5$得出）。

接下来，我们把修改后的目标函数$\text{max}~2x_1+ax_2$，分别代入这四个顶点计算目标值：

1. (0,0)的目标值：$20 +a0 = 0$；
2. (0,10)的目标值：$20 +a10 = 10a$；
3. (5,5)的目标值：$25 +a5 = 10 +5a$；
4. (2.5,0)的目标值：$22.5 +a0 =5$。

要让(5,5)是最优解，它的目标值必须大于等于其他所有顶点的目标值，所以我们列两个关键的不等式（(0,0)的目标值肯定最小，不用额外考虑）：

• 对比(0,10)：$10 +5a \geq10a$
  解这个不等式：$10 \geq5a$ → $a \leq2$；
• 对比(2.5,0)：$10 +5a \geq5$
  解这个不等式：$5a \geq-5$ → $a \geq-1$。

我们再验证一下边界情况：

• 当$a=2$时，目标函数变成$2x_1+2x_2$，(5,5)和(0,10)的目标值都是20，此时这两个点之间的整条线段都是最优解，符合“原最优解保持最优”的要求；
• 当$a=-1$时，目标函数变成$2x_1-x_2$，(5,5)和(2.5,0)的目标值都是5，同样这两个点之间的线段都是最优解，也符合要求；
• 要是$a>2$，比如$a=3$，(0,10)的目标值30会大于(5,5)的25，最优解就变成(0,10)了；
• 要是$a<-1$，比如$a=-2$，(2.5,0)的目标值5会大于(5,5)的0，最优解就变成(2.5,0)了；
• 介于-1和2之间的a值，比如a=0（原问题）、a=1，(5,5)的目标值都是最大的，是唯一最优解。

所以最终结论是：
$\boldsymbol{-1 \leq a \leq 2}$

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