求递推序列u₀=1，uₙ=(1/3)uₙ₋₁-1的闭合形式

没问题，这个递推式属于一阶线性非齐次递推关系，其实有两种很直观的方法可以推导它的闭合形式，我一步步给你拆解清楚：

方法一：不动点法（最常用的经典解法） #

这种方法的核心是通过构造一个新的等比数列，把原递推式转化为我们熟悉的形式：

1. 找不动点：假设序列收敛到某个值x（不动点），那么满足 $x = \frac{1}{3}x - 1$，解这个方程：
   $$
   x - \frac{1}{3}x = -1 \implies \frac{2}{3}x = -1 \implies x = -\frac{3}{2}
   $$
2. 构造新序列：令 $v_n = u_n - x$，也就是 $v_n = u_n + \frac{3}{2}$，把它代入原递推式：
   $$
   u_n = \frac{1}{3}u_{n-1} - 1 \implies v_n - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}\left(v_{n-1} - \frac{3}{2}\right) - 1
   $$
3. 化简得到等比数列：展开右边并整理后，会发现常数项抵消了：
   $$
   v_n - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}v_{n-1} - \frac{1}{2} - 1 \implies v_n = \frac{1}{3}v_{n-1}
   $$
   这说明${v_n}$是首项为$v_0 = u_0 + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列。
4. 还原得到uₙ的表达式：
   $$
   v_n = v_0 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n
   $$
   换回原序列：
   $$
   u_n = v_n - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n - \frac{3}{2}
   $$
   也可以整理成更简洁的分式形式：
   $$
   u_n = \frac{5 - 3^{n+1}}{2 \cdot 3^n}
   $$

方法二：迭代归纳法（直观易懂的推导） #

如果不动点法有点抽象，也可以通过直接迭代找规律，然后用等比数列求和公式验证：

1. 展开前几项找规律：
   • $u_0 = 1$
   • $u_1 = \frac{1}{3}u_0 - 1 = \frac{1}{3} \cdot 1 - 1$
   • $u_2 = \frac{1}{3}u_1 - 1 = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} \cdot 1 - 1\right) - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 1 - \frac{1}{3} - 1$
   • $u_3 = \frac{1}{3}u_2 - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} - 1$
2. 归纳出一般形式：
   观察可得，第n项的表达式为：
   $$
   u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \cdot u_0 - \left[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{n-2} + \dots + \frac{1}{3} + 1 \right]
   $$
3. 等比数列求和：
   括号里是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，共n项，求和公式为：
   $$
   S_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)
   $$
4. 代入化简：
   把$u_0=1$和求和结果代入，得到：
   $$
   u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n - \frac{3}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n - \frac{3}{2}
   $$
   和不动点法的结果完全一致。

验证正确性 #

我们可以代入几个小的n值验证：

• n=0：$\frac{5}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} = 1$，符合初始条件$u_0=1$
• n=1：$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{2}{3}$，和递推计算的$u_1=\frac{1}{3} \cdot 1 -1 = -\frac{2}{3}$一致
• n=2：$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{3}{2} = \frac{5}{18} - \frac{27}{18} = -\frac{11}{9}$，和递推计算的$u_2=\frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) -1 = -\frac{11}{9}$一致

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517526