非零复合线性映射序列的类上同调构造定义问询

这个问题问到点子上了！当线性映射序列不满足$A_k \circ A_{k-1}=0$这个传统上同调的核心前提时，确实没法直接构造$\ker(A_k)/\text{im}(A_{k-1})$的商空间，但学界已经有几种成熟的替代结构，用来捕捉这类序列的“同调-like”性质：

1. 同伦范畴下的映射锥与同伦核/余核 #

我们可以跳出严格的集合论商空间，转向同伦范畴的框架——这里允许我们忽略那些“同伦平凡”的映射，把非零复合的影响转化为同伦等价下的结构：

• 对每个映射$A_{k-1}: V_{k-1} \to V_k$，构造它的映射锥（Mapping Cone）$C(A_{k-1}) = V_k \oplus V_{k-1}$，配上微分$d(v_k, v_{k-1}) = (A_k(v_k), -A_{k-1}(v_{k-1}))$，这样就能把原序列嵌入到一个复形序列中，通过锥的上同调来捕捉原序列的偏差信息。
• 或者直接定义同伦核和同伦余核：同伦核是所有“能被$A_{k-1}$同伦消去”的映射的等价类，同伦余核则是所有“能同伦提升到$A_k$”的映射的等价类，它们在同伦意义下替代了传统上同调的商空间。

2. 导出范畴与高阶Ext群 #

如果把向量空间看作基域$\mathbb{K}$上的模，导出范畴是更强大的工具：

• 先把每个映射$A_{k-1}$分解为满射$p_{k-1}: V_{k-1} \to \text{im}(A_{k-1})$和单射$i_{k-1}: \text{im}(A_{k-1}) \to V_k$的复合，然后构造每个映射的分解复形（比如把$\text{im}(A_{k-1})$作为中间项的短复形）。
• 把这些分解复形拼接成导出范畴里的三角（Triangle），通过这个三角定义的高阶$\text{Ext}$群，就能衡量原序列离正合序列的“距离”，以及映射之间的相互作用——这些$\text{Ext}$群完全可以看作传统上同调的推广。

3. 交叉同调与谱序列方法 #

我们也可以直接量化$A_k \circ A_{k-1} \neq 0$的偏差：

• 定义交叉同调群，比如$H^k = \ker(A_k)/(\text{im}(A_{k-1}) \cap \ker(A_k))$，同时搭配另一个群$Q^k = \text{im}(A_{k-1})/(\text{im}(A_{k-1}) \cap \ker(A_k))$——前者捕捉了传统上同调的“正合部分”，后者则量化了复合不为零的偏差。
• 更系统的是构造同调谱序列：把原序列作为双复形的一行，通过谱序列的收敛过程，得到一系列包含所有映射复合信息的同调群，这些群能完整描述原序列的同调性质。

4. 相对同调结构 #

把原序列看作相对复形，即每个$V_k$上有两个子空间$\text{im}(A_{k-1})$和$\ker(A_k)$（因为不包含，所以是一对非嵌套子空间）：

• 定义相对上同调$H^k(\text{im}(A_{k-1}), \ker(A_k)) = \ker(A_k)/(\text{im}(A_{k-1}) \cap \ker(A_k))$，用来描述“原上同调能定义的部分”。
• 同时定义偏差群$D^k = \text{im}(A_{k-1} \circ A_{k-2})/(\text{im}(A_{k-1}) \cap \ker(A_k))$，用来捕捉复合映射带来的额外结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noë AC