利用指定变量变换求解带初值条件的一阶线性偏微分方程

我们来一步步拆解这个偏微分方程的求解过程：

问题概述 #

需要求解的偏微分方程为：
$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) -x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) = y$$
给定初值条件：
$$f(x,0)=x^2+\frac{x3}{3}$$
要求使用变换：
$$\left{ \begin{array}{rcr} u & = & ax^2+y \ v & = & x \ \end{array} \right.$$
其中$a$是需要确定的合适参数。

步骤1：确定参数$a$的取值 #

首先把原方程转化为以$u$、$v$为变量的形式：

• 由变换式可得$y = u - ax^2$，结合$v=x$，原方程右边可替换为$u - av^2$。
• 先计算$u$、$v$对$x$、$y$的偏导数：
  • $u'_x = 2ax$，$u'_y = 1$
  • $v'_x = 1$，$v'_y = 0$
• 根据复合函数求导法则，推导$f$对$x$、$y$的偏导：
  • $f'_x = f'_u u'_x + f'_v v'_x = 2axf'_u + f'_v = 2avf'_u + f'_v$（因为$v=x$）
  • $f'_y = f'_u u'_y + f'_v v'_y = f'_u$

将这些偏导代入原方程左边：
$$f'_x - xf'_y = (2avf'_u + f'_v) - v \cdot f'_u = v(2a-1)f'_u + f'_v$$

为了让方程简化（消去$f'_u$项，变成仅关于$v$的偏导方程），令$v(2a-1)=0$。由于$v=x$不恒为0，因此$2a-1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。

步骤2：求解变换后的简化方程 #

确定$a=\frac{1}{2}$后，变换式更新为：
$$\left{ \begin{array}{rcr} u & = & \frac{1}{2}x^2 + y \ v & = & x \ \end{array} \right.$$

此时原方程简化为：
$$f'_v = u - \frac{1}{2}v^2$$

把$u$看作常数，对$v$积分：
$$f(u, v) = \int (u - \frac{1}{2}v^2) dv + g(u)$$
其中$g(u)$是关于$u$的任意函数。计算积分后得到：
$$f(u, v) = uv - \frac{1}{6}v^3 + g(u)$$

步骤3：换回原变量并确定$g(u)$ #

将$u=\frac{1}{2}x^2 + y$、$v=x$代回，得到原变量的表达式：
$$f(x,y) = \left( \frac{1}{2}x^2 + y \right)x - \frac{1}{6}x^3 + g\left( \frac{1}{2}x^2 + y \right)$$

化简后：
$$f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 + xy + g\left( \frac{1}{2}x^2 + y \right)$$

代入初值条件$f(x,0)=x^2+\frac{x3}{3}$：
$$\frac{1}{3}x^3 + 0 + g\left( \frac{1}{2}x^2 \right) = x^2 + \frac{1}{3}x^3$$

两边消去$\frac{1}{3}x^3$，得到：
$$g\left( \frac{1}{2}x^2 \right) = x^2$$

令$t=\frac{1}{2}x^2$，则$x2=2t$，因此$g(t)=2t$，即$g(u)=2u$。

步骤4：得到最终解 #

将$g(u)=2u$代入$f(x,y)$的表达式：
$$f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 + xy + 2\left( \frac{1}{2}x^2 + y \right)$$

整理后得到最终解：
$$f(x,y) = x^2 + \frac{1}{3}x^3 + xy + 2y$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parseval