竞争负二项分布：公平骰子首次累积指定结果的掷骰次数概率分布

首先，咱们来拆解这个问题：我们掷一枚公平骰子（掷出1的概率 ( p = \frac{1}{6} )，非1的概率 ( q = \frac{5}{6} )），直到首次触发以下任一条件就停止：累计5次掷出1，或者累计20次掷出非1。接下来我会一步步推导停止时掷骰次数 ( X ) 的概率分布。

基本分析与变量定义 #

设 ( X ) 为停止时的掷骰次数，它的取值范围是 ( 5 \leq X \leq 24 )：

• 最小次数是5：连续掷出5次1，直接满足第一个条件停止。
• 最大次数是24：前23次恰好有4次1和19次非1（此时两个条件都未满足），第24次无论掷出1还是非1，都会触发其中一个条件停止。

分情况计算概率 #

我们分两种互斥的场景计算 ( P(X = k) )：

场景1：第k次掷出1，首次累计到5次1

这种情况下：

• 前 ( k-1 ) 次掷骰中恰好有4次1（还没达到5次），且非1的次数 ( (k-1) - 4 < 20 )（否则早就因为累计20次非1停止了），也就是 ( k < 25 )。
• 第k次必须掷出1，完成第5次累计。

对应的概率公式：
[
P(X = k) = \binom{k-1}{4} \cdot p^5 \cdot q^{k-5}
]
这里 ( \binom{n}{r} ) 是组合数（从n个元素中选r个的方式数），这个公式适用于 ( 5 \leq k \leq 24 )。

场景2：第k次掷出非1，首次累计到20次非1

这种情况下：

• 前 ( k-1 ) 次掷骰中恰好有19次非1（还没达到20次），且1的次数 ( (k-1) - 19 < 5 )（否则早就因为累计5次1停止了），也就是 ( k < 25 )。
• 第k次必须掷出非1，完成第20次累计。

对应的概率公式：
[
P(X = k) = \binom{k-1}{19} \cdot p^{k-20} \cdot q^{20}
]
这个公式适用于 ( 20 \leq k \leq 24 )（毕竟累计20次非1至少需要20次掷骰）。

综合概率分布 #

把两种场景结合起来，( X = k ) 的概率为：

• 当 ( 5 \leq k \leq 19 )：只有场景1可能，概率直接用场景1的公式计算。
• 当 ( 20 \leq k \leq 24 )：两种场景都可能，概率是两个场景的结果相加：
  [
  P(X = k) = \binom{k-1}{4} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{k-5} + \binom{k-1}{19} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{k-20} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{20}
  ]

举个简单例子验证 #

比如计算 ( P(X=5) )：只有连续5次1的情况，概率是 ( \left(\frac{1}{6}\right)^5 = \frac{1}{7776} \approx 0.0001286 )，代入场景1的公式（( k=5 ) 时，( \binom{4}{4}=1 )），结果完全一致。

再看 ( P(X=20) )：

• 场景1的概率是 ( \binom{19}{4} \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{15} )
• 场景2的概率是 ( (\frac{5}{6})^{20} )（因为前19次全是非1，( \binom{19}{19}=1 )）
• 两者相加就是 ( P(X=20) ) 的最终值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alec Walker