已知零息债券价格，求解隐含远期利率f[0,2]与f[2,3]

我来一步步帮你拆解这个问题，核心思路是先通过零息债券价格算出即期利率，再利用即期利率和远期利率的无套利关系推导目标远期利率，咱们慢慢来：

一、先明确零息债券的定价公式 #

零息债券的当前价格就是未来面值的现值，公式非常直观：

P = FV / (1 + rₙ)ⁿ

其中：

• P是当前价格，FV是债券面值（这里都是10000美元）
• rₙ是n年期即期利率，也就是从现在（0时刻）到n时刻的年化收益率

二、计算各期限的即期利率 #

咱们逐个计算1年、2年、3年期的即期利率：

• 1年期即期利率r₁：
  代入价格9765美元：

  9765 = 10000 / (1 + r₁)¹
  

  解得：

  r₁ = (10000 / 9765) - 1 ≈ 2.40655%
  

• 2年期即期利率r₂：
  代入价格9428美元：

  9428 = 10000 / (1 + r₂)²
  

  先算平方项：

  (1 + r₂)² = 10000 / 9428 ≈ 1.06067
  

  开平方得到：

  r₂ = √1.06067 - 1 ≈ 2.98885%
  

  这里要注意：题目里的f[0,2]是从0时刻到2时刻的远期利率，而从零时刻开始的远期利率，本质上就等于对应期限的即期利率，所以f[0,2] = r₂ ≈ 2.98885%，这就是第一个答案啦。

• 3年期即期利率r₃：
  代入价格8986.82美元：

  8986.82 = 10000 / (1 + r₃)³
  

  先算立方项：

  (1 + r₃)³ = 10000 / 8986.82 ≈ 1.11274
  

  开三次方得到：

  r₃ = 1.11274^(1/3) - 1 ≈ 3.5999%
  

三、计算远期利率f[2,3] #

远期利率的核心是无套利原则：投资3年期零息债券的总收益，和先投资2年期零息债券、再在第2年末按远期利率f[2,3]投资1年的总收益完全相等。对应的公式是：

(1 + r₃)³ = (1 + r₂)² * (1 + f[2,3])

把公式变形求解f[2,3]：

f[2,3] = [(1 + r₃)³ / (1 + r₂)²] - 1

代入咱们算好的数值：

f[2,3] = (1.11274 / 1.06067) - 1 ≈ 1.0490919 - 1 = 4.90919%

这就得到了第二个答案，和题目给定的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者uytt