复数模长等式证明问询：已知a,b,u∈ℂ且u²=ab，求证|a|+|b|=|(a+b)/2±u|之和

嘿，我来帮你搞定这个复数等式的证明，你之前推导出了一个不等式，现在我们直接通过复数模的平方性质（对于任意复数(z)，(|z|^2 = z \cdot \overline{z})，其中(\overline{z})表示(z)的共轭复数）来证等号成立：

步骤1：展开右边表达式的平方 #

我们先对右边的模长和取平方，利用公式((|x| + |y|)^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2|x \cdot y|)，令(x = \frac{a+b}{2} - u)，(y = \frac{a+b}{2} + u)，则：
[
\left( \left| \frac{a+b}{2} - u \right| + \left| \frac{a+b}{2} + u \right| \right)^2 = \left| \frac{a+b}{2} - u \right|^2 + \left| \frac{a+b}{2} + u \right|^2 + 2 \left| \left( \frac{a+b}{2} - u \right)\left( \frac{a+b}{2} + u \right) \right|
]

步骤2：计算前两项的和 #

分别展开两个模的平方：

• (\left| \frac{a+b}{2} - u \right|^2 = \left( \frac{a+b}{2} - u \right)\left( \frac{\overline{a}+\overline{b}}{2} - \overline{u} \right) = \frac{|a|^2 + |b|^2 + a\overline{b} + \overline{a}b}{4} - \frac{(a+b)\overline{u} + (\overline{a}+\overline{b})u}{2} + |u|^2)
• (\left| \frac{a+b}{2} + u \right|^2 = \left( \frac{a+b}{2} + u \right)\left( \frac{\overline{a}+\overline{b}}{2} + \overline{u} \right) = \frac{|a|^2 + |b|^2 + a\overline{b} + \overline{a}b}{4} + \frac{(a+b)\overline{u} + (\overline{a}+\overline{b})u}{2} + |u|^2)

把这两项相加，中间的交叉项会抵消，得到：
[
\frac{|a|^2 + |b|^2 + a\overline{b} + \overline{a}b}{2} + 2|u|^2
]

步骤3：计算第三项的绝对值 #

利用平方差公式，(\left( \frac{a+b}{2} - u \right)\left( \frac{a+b}{2} + u \right) = \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 - u^{2)，已知(u}2 = ab)，代入得：
[
\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - ab = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4}
]

所以第三项为：
[
2 \left| \frac{(a - b)^2}{4} \right| = 2 \cdot \frac{|a - b|^2}{4} = \frac{|a - b|^2}{2}
]

步骤4：合并所有项并化简 #

把步骤2和步骤3的结果相加：
[
\frac{|a|^2 + |b|^2 + a\overline{b} + \overline{a}b}{2} + 2|u|^2 + \frac{|a - b|^2}{2}
]

注意到(|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - a\overline{b} - \overline{a}b)，代入后前两项分式合并：
[
\frac{(|a|^2 + |b|^2 + a\overline{b} + \overline{a}b) + (|a|^2 + |b|^2 - a\overline{b} - \overline{a}b)}{2} = |a|^2 + |b|^2
]

又因为(u^2 = ab)，所以(|u|^2 = |u^2| = |ab| = |a||b|)，因此(2|u|^2 = 2|a||b|)，最终右边的平方为：
[
|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| = (|a| + |b|)^2
]

步骤5：开平方得结论 #

由于模长都是非负实数，两边同时开平方后就得到：
[
\left| \frac{a+b}{2} - u \right| + \left| \frac{a+b}{2} + u \right| = |a| + |b|
]

这样就完成了等式的证明~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者faceup