已知总体比例，求B湖抽样狗鱼数量多于A湖的概率求解指导

嘿，你的正态近似思路完全没问题！不过先帮你纠正一个小细节：二项分布的正态近似均值应该是n*p（样本量乘以概率），而不是概率本身哦～接下来一步步带你走完后续的计算流程：

• 设A湖捕捞到的狗鱼数量为X，X服从二项分布Binomial(n=100, p=0.52)，用正态近似后：
  X ~ N(μ_X = 100*0.52 = 52, σ_X² = 100*0.52*0.48 = 24.96)
• 设B湖捕捞到的狗鱼数量为Y，Y服从二项分布Binomial(n=100, p=0.47)，正态近似后：
  Y ~ N(μ_Y = 100*0.47 = 47, σ_Y² = 100*0.47*0.53 = 24.91)

我们需要求的是B湖狗鱼数量多于A湖的概率，也就是P(Y > X)，可以转化为：
P(Y - X > 0)

因为X和Y是独立抽样的，所以它们的差D = Y - X也服从正态分布，参数计算如下：

• 均值：μ_D = μ_Y - μ_X = 47 - 52 = -5
• 方差：σ_D² = σ_Y² + σ_X² = 24.91 + 24.96 = 49.87（注意：方差的运算中，Var(Y - X) = Var(Y) + Var(X)，因为Var(-X) = Var(X)）
• 标准差：σ_D = √49.87 ≈ 7.062

由于X和Y都是离散的整数变量，而正态分布是连续分布，这里必须做连续性修正才能保证近似的准确性：
P(Y > X)等价于P(Y - X ≥ 1)（因为Y和X都是整数，Y>X的最小整数差是1），对应连续分布的近似为：
P(D > 0.5)

将D标准化为标准正态变量Z ~ N(0,1)，Z值的计算公式为：
z = (目标值 - μ_D) / σ_D

代入数值：
z = (0.5 - (-5)) / 7.062 = 5.5 / 7.062 ≈ 0.779

接下来查标准正态分布表（或用统计软件计算累积概率）：

• 标准正态分布中，Φ(0.78) ≈ 0.7823（Φ是累积分布函数，表示P(Z ≤ 0.78)）
• 所以P(Z > 0.779) = 1 - Φ(0.779) ≈ 1 - 0.7823 = 0.2177

捕捞到的狗鱼数量B湖多于A湖的概率大约为21.8%。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karl Anka