非空集合A、B的单射/子集双射存在性证明技术问询

嘿，你的方向完全正确！用Zorn引理处理这个单射映射族是标准且有效的方法，咱们把逻辑拆解开，你就能明白极大元怎么帮咱们导出目标结论了：

第一步：定义映射族与偏序 #

首先，构造所有满足以下条件的映射组成的集合$\mathcal{F}$：

• 每个映射f的定义域是A的某个子集S⊆A
• f: S → B是单射

然后给$\mathcal{F}$定义偏序关系≤：对于f₁: S₁→B和f₂:S₂→B，当且仅当S₁⊆S₂，且f₂在S₁上的限制等于f₁（也就是f₂|_{S₁}=f₁），咱们就说f₁ ≤ f₂（可以理解为f₂是f₁的延拓）。

第二步：验证Zorn引理的条件 #

Zorn引理要求，这个偏序集里的每个链（全序子集）都有上界。咱们来构造这个上界：
假设$\mathcal{C}⊆\mathcal{F}$是一个链，取所有链中映射的定义域的并集：S = ∪{ dom(f) | f∈$\mathcal{C}$ }
然后定义映射F: S→B：对任意x∈S，任选链中某个包含x的映射f∈$\mathcal{C}$，令F(x)=f(x)。
因为链里的映射是相容的（如果两个映射定义域有交集，它们在交集上的取值一致），所以这个定义是良定的，而且F本身也是单射（如果F(x)=F(y)，那x,y一定在某个f∈$\mathcal{C}$的定义域里，而f是单射，所以x=y）。显然F∈$\mathcal{F}$，并且是链$\mathcal{C}$的上界。

第三步：利用极大元推导结论 #

根据Zorn引理，$\mathcal{F}$存在一个极大元f: S→B（S⊆A，f是单射）。现在分两种情况讨论：

• 情况1：S=A
  这时候f就是从A到B的单射，直接满足咱们要的第一个结论。
• 情况2：S≠A
  这时候存在x∈A\S，咱们要证明f是满射（单射+满射就是双射）。
  反证法：假设f不是满射，那么存在b∈B\f(S)。咱们可以构造一个新的映射f': S∪{x}→B：
  • 对y∈S，f'(y)=f(y)
  • 对x，f'(x)=b
    显然f'是单射（因为b不在f(S)里，不会和f(y)重复，且f本身是单射），而且f ≤ f'但f≠f'——这就和f是极大元矛盾了！所以f必须是满射，也就是f是从S到B的双射。

这样两种情况就覆盖了所有可能，完美证明了“存在从A到B的单射，或存在从A的某个子集到B的双射”这个结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pianoman1234