求解2018年MIT积分大赛第二题：嵌套根式积分问题

Hey，我来帮你搞定这个MIT积分赛的嵌套根式问题！你说的没错，核心就是把这个无限嵌套的根号转换成幂次形式，只是需要用点级数的技巧来拆解，我一步步给你理清楚：

首先，我们先聚焦被积函数：
$$y = \sqrt{x \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x \sqrt[5]{x \cdots}}}}$$

步骤1：用对数拆解嵌套结构 #

直接处理嵌套根号有点绕，我们对两边取自然对数，把乘法和根号转化为加法和乘法：
$$\ln y = \frac{1}{2} \ln\left( x \cdot \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x \sqrt[5]{x \cdots}}} \right)$$
展开后得到：
$$\ln y = \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2} \ln\left( \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x \cdots}} \right)$$

接着处理下一层的三次根号，同样展开对数：
$$\ln\left( \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x \cdots}} \right) = \frac{1}{3}\ln x + \frac{1}{3} \ln\left( \sqrt[4]{x \cdots} \right)$$

把这个代回原式，重复这个过程，最终我们会得到一个无穷级数：
$$\ln y = \ln x \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4 \times 5} + \cdots \right)$$

步骤2：利用e的泰勒展开求和级数 #

观察这个级数，其实它是自然常数e的泰勒展开的一部分。回忆e的泰勒级数：
$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

我们的级数正好是从n=2开始的项：
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1 - 1 = e - 2$$

把这个结果代回ln y的表达式：
$$\ln y = (e - 2)\ln x \implies y = x^{e-2}$$

步骤3：幂函数积分 #

现在被积函数已经简化成了幂函数，直接用幂函数积分公式：
$$\int x^{k} dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$$

代入k = e-2，得到：
$$\int x^{e-2} dx = \frac{x^{(e-2)+1}}{(e-2)+1} + C = \frac{x^{e-1}}{e-1} + C$$

这样就得到了题目给出的结果啦～你之前的思路完全正确，只是差了用对数拆解嵌套结构，再结合e的级数求和这一步！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Whatever Bro