求极限$S=\lim_{ n \to \infty} \sum_{r=2n+1}^{3n} \frac{n}{r^2-n^2}$的后续解法

嘿，你已经迈出了不错的一步！咱们可以顺着你做的替换继续推进，核心思路是把这个求和式转化为黎曼和，从而用定积分来计算极限。下面分步骤给你拆解：

顺着你的k替换继续化简 #

1. 先整理分式分母
   你的式子是$S=\frac{1}{n} \times \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^2}{(2n+1+k)2-n^2}$，先对分母用平方差公式展开：
   $$(2n+1+k)^2 - n^2 = [(2n+1+k)-n][(2n+1+k)+n] = (n+1+k)(3n+1+k)$$

2. 简化分式结构
   分子分母同除以$n^2$，把式子往黎曼和的形式靠拢：
   $$\frac{n^2}{(n+1+k)(3n+1+k)} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1+k}{n}\right)\left(3 + \frac{1+k}{n}\right)}$$
   此时原式就变成：
   $$S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\left(1 + \frac{1+k}{n}\right)\left(3 + \frac{1+k}{n}\right)}$$

3. 转化为定积分
   令$x = \frac{1+k}{n}$：

• 当$k=0$时，$x=\frac{1}{n}$；当$k=n-1$时，$x=1$，当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，所以$x$的范围是$[0,1]$
• $\frac{1}{n}$就是黎曼和里的$\Delta x$

此时求和式直接对应定积分：
$$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)(3+x)} dx$$

4. 计算定积分
   用部分分式分解$\frac{1}{(1+x)(3+x)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{3+x}\right)$，代入积分计算：
   $$
   \begin{align*}
   S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{3+x}\right) dx \
   &= \frac{1}{2} \left[ \ln|1+x| - \ln|3+x| \right]_0^1 \
   &= \frac{1}{2} \left[ (\ln2 - \ln4) - (\ln1 - \ln3) \right] \
   &= \frac{1}{2} \left( \ln\frac{2}{4} + \ln3 \right) \
   &= \frac{1}{2} \ln\frac{3}{2} = \frac{\ln3 - \ln2}{2}
   \end{align*}
   $$

更直观的替代方法（直接换元） #

其实可以直接令$t = \frac{r}{n}$：

• $r$从$2n+1$到$3n$，对应$t$从$2+\frac{1}{n}$到$3$，当$n \to \infty$时，$t \in [2,3]$
• 原求和式变形为：
  $$
  \sum_{r=2n+1}^{3n} \frac{n}{r^2 - n^2} = \sum_{r=2n+1}^{3n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{t^2 - 1}
  $$
  这里$\frac{1}{n}$就是$\Delta t$，直接对应定积分$\int_{2}^{3} \frac{1}{t^2 - 1} dt$，计算结果和上面完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Umesh shankar