如何证明序数的后继（α∪{α}）也是序数？

嘿，我来帮你把这个序数后继的证明补全并整理清楚～你已经开了个好头，我们把剩下的步骤也理顺：

首先回忆一下序数的定义：一个集合是序数，当且仅当它满足两个核心条件：

1. 它是传递集：即对任意元素$x\in\beta$，都有$x\subseteq\beta$；
2. 集合上的$\in$关系是良序关系：即集合的任意非空子集都存在最小元（这里的最小元是按$\in$关系定义的）。

我们分两步来证明$\alpha\cup{\alpha}$符合这两个条件：

第一步：证明$\alpha\cup{\alpha}$是传递集 #

你已经推导了一部分，我们把它补完整：

• 任取$x\in\alpha\cup{\alpha}$，根据并集的定义，要么$x\in\alpha$，要么$x=\alpha$：
  • 如果$x\in\alpha$：因为$\alpha$是序数，所以$\alpha$本身是传递集，因此$x\subseteq\alpha$。而$\alpha$显然是$\alpha\cup{\alpha}$的子集，所以$x\subseteq\alpha\subseteq\alpha\cup{\alpha}$，即$x\subseteq\alpha\cup{\alpha}$。
  • 如果$x=\alpha$：直接可得$\alpha\subseteq\alpha\cup{\alpha}$，也就是$x\subseteq\alpha\cup{\alpha}$。
• 两种情况都满足传递集的定义，所以$\alpha\cup{\alpha}$是传递集。

第二步：证明$\alpha\cup{\alpha}$上的$\in$关系是良序 #

这部分是证明序数必不可少的环节，我们来补充：

• 已知$\alpha$是序数，所以$\alpha$上的$\in$关系已经是良序。现在看$\alpha\cup{\alpha}$的任意非空子集$S$：
  • 情况1：$S$是$\alpha$的子集（即$S\subseteq\alpha$）。因为$\alpha$上$\in$是良序，所以$S$在$\alpha$里有一个最小元，这个元素也是$S$在$\alpha\cup{\alpha}$中的最小元——毕竟$\alpha$里的元素都不属于$\alpha$本身，不会有比它更小的元素。
  • 情况2：$S$包含$\alpha$（即$\alpha\in S$）。此时，对于$S$中任意属于$\alpha$的元素$y$（也就是$y\in S\cap\alpha$），根据序数的性质，$y\in\alpha$意味着$\alpha\notin y$（序数的反自反性，没有序数是自身的元素），同时$y$是$\alpha$的元素，所以$y\in\alpha$而$\alpha$不在$y$里，因此$\alpha$就是$S$中的最小元。
• 不管哪种情况，$S$都有最小元，所以$\alpha\cup{\alpha}$上的$\in$关系是良序。

结论 #

既然$\alpha\cup{\alpha}$既是传递集，又在$\in$关系下是良序，那它必然是一个序数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gregoire Rocheteau