线性代数期末考问题：证明两组向量张成空间相等

要证明两个张成空间相等，核心逻辑是证明两个向量组可以互相线性表出——因为张成空间的定义就是向量组所有线性组合的集合，若两组向量能互相表出，它们的线性组合集合必然完全一致。下面分两步来证：

第一步：证明第二组向量可由第一组线性表出，即 $span(v_1,v_1+v_2,...,v_{n-1}+v_n) \subseteq span(v_1,...,v_n)$ #

• $v_1$本身就是第一组中的向量，显然属于$span(v_1,...,v_n)$；
• 对于任意$1 \leq i \leq n-1$，$v_i + v_{i+1}$是$v_i$和$v_{i+1}$的线性组合（系数分别为1和1），而$v_i, v_{i+1}$都在第一组里，因此$v_i + v_{i+1}$也属于$span(v_1,...,v_n)$。

第二组的所有向量都能被第一组线性表出，所以第二组的张成空间必然是第一组张成空间的子集。

第二步：证明第一组向量可由第二组线性表出，即 $span(v_1,...,v_n) \subseteq span(v_1,v_1+v_2,...,v_{n-1}+v_n)$ #

这里我们可以通过递推的方式逐个表出第一组的向量：

• $v_1$直接是第二组的成员，无需额外表出；
• $v_2 = (v_1 + v_2) - v_1$：$v_1 + v_2$和$v_1$都是第二组的向量，所以$v_2$是它们的线性组合；
• $v_3 = (v_2 + v_3) - v_2$：$v_2 + v_3$属于第二组，而$v_2$已经能由第二组表出，因此$v_3$也能被第二组线性表出；
• 以此类推，对任意$2 \leq k \leq n$，$v_k = (v_{k-1} + v_k) - v_{k-1}$。只要$v_{k-1}$能由第二组表出，$v_k$就可以通过第二组的向量$(v_{k-1}+v_k)$减去$v_{k-1}$得到，自然也能被第二组线性表出。

第一组的所有向量都能被第二组线性表出，所以第一组的张成空间也是第二组张成空间的子集。

结论 #

既然两个张成空间互相包含，那么它们必然相等，即：
$$span(v_1,v_2,...,v_n) = span(v_1,v_1+v_2,v_2+v_3,...,v_{n-1}+v_n)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kornel_S