利用归纳法证明数论函数和：连续素数归纳可行性问询

定义回顾与命题重述 #

先明确命题里的核心定义：

• 对任意大于1的正整数$n$，$P(n)$表示不超过$n$的最大素数
• $N(n)$表示大于$P(n)$的下一个素数

举两个直观例子：

• $P(10)=7$，$N(10)=11$
• $P(11)=11$，$N(11)=13$

待证命题：当$n+1$是素数时，以下求和等式成立：
$$\sum_{m=2}^n \frac{1}{P(m)N(m)} = \frac{n-1}{2n+2}$$

归纳思路的可行性解答 #

答案是完全可行的，基于连续素数的归纳是非常贴合这个命题的思路——毕竟命题的前提是$n+1$为素数，而连续素数的跨度刚好对应了求和式中$P(m)$和$N(m)$保持不变的区间。

归纳框架的大致方向 #

假设我们有两个连续素数$p = k+1$和$p' = k+q+1$（即$p'$是$p$的下一个素数），那么：

• 当$m$在$(p, p')$之间时，$P(m) = p$，$N(m) = p'$，这一段的每一项都是$\frac{1}{p p'}$
• 先验证基础情况：比如$n+1=3$（即$n=2$）时，左边是$\frac{1}{P(2)N(2)}=\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{6}$，右边是$\frac{2-1}{2\times2+2}=\frac{1}{6}$，等式成立
• 然后做归纳假设：假设当$n = p-1$（此时$n+1=p$是素数）时等式成立，再推导当$n = p'-1$（此时$n+1=p'$是素数）时等式也成立——这时候求和式多了从$m=p$到$m=p'-1$的$(p'-p)$项，每一项都是$\frac{1}{p p'}$，把这部分加进去后验证是否等于$\frac{(p'-1)-1}{2(p'-1)+2}=\frac{p'-2}{2p'}$

你的思路延续建议 #

你提到“由于结论……”，可以顺着这个框架继续：利用$\frac{1}{p p'} = \frac{1}{p'-p} \left( \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} \right)$这个裂项技巧，把新增的项求和后和假设的结果相加，就能顺利推导出目标等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QFTheorist