不使用条件分布：求从0-9无放回选3数的X与Y联合分布

咱们直接用组合计数的思路来解，不用条件分布，逻辑非常清晰：

首先，从集合{0, 1, 2, ⋯, 9}中无放回选取3个数字，总共有$\binom{10}{3} = 120$种不同的选取方式，这是所有可能的样本点总数。

接下来，我们要确定X=x且Y=y的联合概率（X是选中3个数的最小值，Y是最大值），这里有个关键前提：必须满足$x + 2 \leq y$——因为要选3个不同的数，中间至少得有1个数字介于x和y之间，不然没法凑够3个数。

具体的计数逻辑如下：

• 固定最小值为x：只有$\binom{1}{1} = 1$种方式（就是确定选x这个数）
• 固定最大值为y：同样只有$\binom{1}{1} = 1$种方式（确定选y这个数）
• 选中间的那个数：x和y之间一共有$y - x - 1$个数字（比如x=2，y=5，中间有3、4两个数，正好是5-2-1=2），所以选法是$\binom{y-x-1}{1} = y - x - 1$种

满足X=x且Y=y的样本点总数就是这三个步骤的乘积：$1 \times 1 \times (y - x - 1) = y - x - 1$

因此，联合概率的表达式为：
$$
P(X=x, Y=y) =
\begin{cases}
\frac{y - x - 1}{\binom{10}{3}} = \frac{y - x - 1}{120}, & \text{当 } 0 \leq x < y-1 \leq 8 \text{（即 } x+2 \leq y \leq 9\text{）} \
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
$$

举两个直观的例子验证下：

• 当x=0，y=2时，中间只有数字1，样本数是1，概率就是$1/120$
• 当x=3，y=7时，中间有4、5、6三个数字，样本数是3，概率就是$3/120 = 1/40$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus