为何$f_{yx}=f_{xy}$？特定条件下等式成立的疑问求解

先拿这类问题最经典的分段函数例子来拆解，通常对应的函数是：

f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}

我们分两种情况逐一分析：

情况1：x≠0，y=0 #

当y固定为0且x≠0时，代入函数可得$f(x,0)=0$（分子直接为0）。

• 先计算$f_{yx}(x,0)$：
  第一步用偏导定义求对y的偏导$f_y(x,0)$：

  f_y(x,0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x,\Delta y)-f(x,0)}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{x(x^2-\Delta y^2)}{x^2+\Delta y^2}=x
  

  再对x求导，得到$f_{yx}(x,0)=\frac{d}{dx}(x)=1$。
• 再计算$f_{xy}(x,0)$：
  第一步因为$f(x,0)=0$，所以对x的偏导$f_x(x,0)=0$。
  再用偏导定义求对y的偏导：

  f_{xy}(x,0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f_x(x,\Delta y)-f_x(x,0)}{\Delta y}
  

  对$f_x(x,\Delta y)$用商的导数法则展开化简后，当$\Delta y\to0$时，这个极限最终收敛到1。
  所以$f_{xy}(x,0)=1=f_{yx}(x,0)$。

情况2：x=0，y≠0 #

和上面的逻辑完全对称：
当x固定为0且y≠0时，$f(0,y)=0$。

• 计算$f_{xy}(0,y)$：先用偏导定义求出$f_x(0,y)=-y$，再对y求导得到$-1$。
• 计算$f_{yx}(0,y)$：先得到$f_y(0,y)=0$，再用偏导定义求对x的偏导，最终极限为$-1$。
  所以$f_{xy}(0,y)=-1=f_{yx}(0,y)$。

核心本质 #

混合偏导相等的关键定理是：如果二阶混合偏导数$f_{xy}$和$f_{yx}$在某点连续，那么它们在该点相等。
在x≠0、y=0或x=0、y≠0的点上，函数的分母$x^2+y2$不为0（比如x≠0,y=0时分母是$x^2>0$），函数在这些点的邻域内光滑可导，二阶混合偏导数也连续，自然满足相等的条件。
只有原点$(0,0)$是特殊点：这里的二阶混合偏导数不连续，才会出现$f_{xy}(0,0)≠f_{yx}(0,0)$的例外情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Akash Patalwanshi