含Hermite多项式的特殊积分闭式形式求解问询

我来帮你推导这个积分的闭式解，用概率Hermite多项式的生成函数就能搞定，分情况说清楚：

咱们要求的积分是：
$$ I(n,m) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x2}{2}} He_n(x)He_m(a(x-b)) dx $$

这里的$He_n(x)$是概率型Hermite多项式，它的生成函数是$\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} He_k(z) = e^{tz - t^{2/2}$，正交性满足$\int_{-\infty}}\infty e^{-x2/2} He_p(x)He_q(x)dx = \sqrt{2\pi} p! \delta_{pq}$（只有$p=q$时积分不为0）。

分情况看结果： #

1. 如果$m < n$，或者$m-n$是奇数：
   积分直接等于0，没跑的。

2. 如果$m \geq n$，而且$m-n$是偶数：
   令$d = m - n$（$d$是个非负偶数），那积分的闭式形式就是：
   $$ I(n,m) = \sqrt{2\pi} , a^n , m! \sum_{l=0}^{d/2} \frac{(-ab)^{d-2l} (a^2 - 1)^l}{2l , l! , (d-2l)!} $$

   要是觉得这个求和形式不够顺眼，换个变量$k = d/2 - l$，还能写成：
   $$ I(n,m) = \sqrt{2\pi} , a^n , m! \sum_{k=0}^{d/2} \frac{(-ab)^{2k} (a^2 - 1)^{d/2 - k}}{2^{d/2 - k} , k! , (d-2k)!} $$

其实就是用生成函数把积分转化成容易算的形式：

• 先构造关于$m$的生成函数，把$He_m(a(x-b))$换成它的生成函数表达式，这样积分就变成了对$x$的高斯积分；
• 再对$n$用生成函数，把$He_n(x)$也替换掉，然后通过配方计算高斯积分，得到一个关于$t$的指数函数；
• 最后把这个指数函数展开成幂级数，提取$t^m$的系数，再乘以$m!$就是咱们要的积分结果了。

• 当$a=1$时：
  这时候$a^2-1=0$，求和里只有$l=0$的项有用，积分就简化成：
  $$ I(n,m) = \begin{cases}
  \sqrt{2\pi} , \frac{m!}{(m-n)!} (-b)^{m-n} & \text{当 } m \geq n \text{ 且 } m-n \text{ 是偶数} \
  0 & \text{其他情况}
  \end{cases} $$
  这个结果和概率Hermite多项式的平移性质、正交性完全对得上，没问题。

• 当$b=0$时：
  这时候求和里只有$d-2l=0$的项（也就是$l=d/2$）有用，积分简化成：
  $$ I(n,m) = \begin{cases}
  \sqrt{2\pi} , a^n , m! \frac{(a^2-1){(m-n)/2}}{2^{(m-n)/2} , ((m-n)/2)!} & \text{当 } m \geq n \text{ 且 } m-n \text{ 是偶数} \
  0 & \text{其他情况}
  \end{cases} $$
  这也符合概率Hermite多项式的缩放性质，完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者daemon