验证《Linear Algebra Done Right》2.A节第6题线性无关证明思路有效性

你的思路完全有效，而且是个非常巧妙的角度！下面我来详细拆解为什么这个思路能成立，以及如何把它补全成完整的证明：

核心逻辑依据 #

在线性代数中，有个关键结论：如果两个长度相同的向量组，它们张成的向量空间相等，且其中一个向量组线性无关，那么另一个向量组也必然线性无关。

已知 (v_1, v_2, v_3, v_4) 是线性无关的，所以它们张成的空间 (\text{span}(v_1, v_2, v_3, v_4)) 的维数是4。你的思路是证明原向量组能被新向量组线性表出，从而得到 (\text{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) \subseteq \text{span}(v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, v_4))，再结合反向的包含关系，就能推出两个张成空间相等，进而证明新向量组线性无关。

补全证明细节 #

1. 原向量组可由新向量组线性表出

   • (v_4 = 0 \cdot (v_1-v_2) + 0 \cdot (v_2-v_3) + 0 \cdot (v_3-v_4) + 1 \cdot v_4)
   • (v_3 = (v_3 - v_4) + v_4 = 0 \cdot (v_1-v_2) + 0 \cdot (v_2-v_3) + 1 \cdot (v_3-v_4) + 1 \cdot v_4)
   • (v_2 = (v_2 - v_3) + v_3 = 0 \cdot (v_1-v_2) + 1 \cdot (v_2-v_3) + 1 \cdot (v_3-v_4) + 1 \cdot v_4)
   • (v_1 = (v_1 - v_2) + v_2 = 1 \cdot (v_1-v_2) + 1 \cdot (v_2-v_3) + 1 \cdot (v_3-v_4) + 1 \cdot v_4)
     这就说明每个原向量都属于新向量组的张成空间，因此 (\text{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) \subseteq \text{span}(v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, v_4))。

2. 新向量组可由原向量组线性表出
   反过来，新向量组的每个元素都是原向量组的线性组合：

   • (v_1-v_2 = 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + 0 \cdot v_4)
   • (v_2-v_3 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + (-1) \cdot v_3 + 0 \cdot v_4)
   • (v_3-v_4 = 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 + (-1) \cdot v_4)
   • (v_4 = 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + 1 \cdot v_4)
     所以 (\text{span}(v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, v_4) \subseteq \text{span}(v_1, v_2, v_3, v_4))。

3. 推出线性无关
   结合上面两点，两个张成空间相等，即 (\text{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) = \text{span}(v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, v_4))，维数都是4。而新向量组有4个向量，在4维空间中，n个向量张成整个空间当且仅当它们线性无关，因此 (v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, v_4) 线性无关。

额外补充：常规定义法验证 #

如果你想用最基础的线性无关定义来验证，也可以这样做：
设存在标量 (a_1, a_2, a_3, a_4) 使得：
[a_1(v_1-v_2) + a_2(v_2-v_3) + a_3(v_3-v_4) + a_4v_4 = 0]
整理成原向量组的线性组合：
[a_1v_1 + (-a_1+a_2)v_2 + (-a_2+a_3)v_3 + (-a_3+a_4)v_4 = 0]
因为 (v_1, v_2, v_3, v_4) 线性无关，所以所有系数都必须为0：
[
\begin{cases}
a_1 = 0 \
-a_1 + a_2 = 0 \
-a_2 + a_3 = 0 \
-a_3 + a_4 = 0
\end{cases}
]
解这个方程组可得 (a_1=a_2=a_3=a_4=0)，因此新向量组线性无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pbl