一致完全扩张系统的定理是否为重言式？可推演公式的赋值与真值如何？

问题1：L的一致且完全扩张系统中的定理是否都是重言式？ #

答案是不一定。

先明确基础前提：通常我们说的L指经典命题逻辑系统（比如PC），它本身是可靠且完全的——所有定理都是重言式，所有重言式也都是定理。但当我们构造它的一致且完全扩张时，结果会分两种情况：

• 如果是保守扩张（比如仅添加新的符号但没有新增非重言式公理），扩张后的系统定理仍然全是重言式，因为没有产生超出L原有定理范围的新内容。
• 但如果是非保守扩张，我们可以构造出一致且完全的系统，其定理包含非重言式。比如，取原子命题p，构造一个极大一致集（包含p、所有能从p和L公理推出的公式，同时对任意公式A，要么A在集合里，要么¬A在集合里），把这个集合的所有公式作为公理添加到L中得到系统J。这个系统J是L的扩张（包含所有L的定理），是一致的（极大一致集本身无矛盾），也是完全的（任何公式要么是定理，要么其否定是定理）。但J中的定理p显然不是重言式——存在赋值让p为假。

简言之：一致且完全只保证系统内部无矛盾、且对任何公式都能判定是否为定理，但不保证这些定理在所有赋值下都为真（重言式的核心定义）。

问题2：一致且完全系统中，若⊢_J A，关于A的赋值或真值有何结论？ #

可以从两个维度来看：

• 针对系统J的典范赋值（专门对应该系统的赋值：定义V(A)=1当且仅当⊢_J A）：此时必然有V(A)=1，也就是A在这个赋值下为真。这是因为典范赋值就是根据系统的定理集合来定义的，所有定理都被赋值为真，非定理（即¬A是定理）则被赋值为假。
• 针对任意赋值：A不一定为真。比如刚才例子中的系统J，定理p在让p=0的赋值下就是假的。

另外，由于J是一致且完全的，它的定理集合恰好是某个赋值（典范赋值）下的所有真公式——也就是说J相对于这个典范赋值是语义完全的：所有在该赋值下为真的公式都是J的定理，反之亦然。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roger Figueroa Quintero