关于积分$\int \frac{x^3}{x^2+1}\, dx$化简中常数1消失的问询

嘿，这个细节抠得真到位！咱们一步步捋清楚，你就明白为啥那个“+1”好像“消失”了：

首先看你得到的原始积分结果：
$$\frac{x^2+1}{2} - \frac{\ln(x^2+1)}{2} + C$$

第一步：合并同分母分式 #

两个项的分母都是2，咱们可以把它们合并成一个分式：
$$\frac{(x^2 + 1) - \ln(x^2 + 1)}{2} + C$$

第二步：拆分分子，处理常数项 #

把分子拆开后，式子可以拆成两部分：
$$\frac{x^2 - \ln(x^2 + 1)}{2} + \frac{1}{2} + C$$

这里的核心点是：积分里的$C$是任意常数，而$\frac{1}{2}$是个固定的确定常数。当你把任意常数和固定常数相加时，结果依然是一个任意常数——行业惯例里我们依然用$C$来表示这个新的任意常数，不用换符号。

所以最终就简化成了：
$$\frac{x^2 - \ln(x^2 + 1)}{2} + C$$

针对你疑问的补充说明 #

你提到“按道理不应该是$x^2+1-\ln(x2+1)$吗？”，其实是漏看了原始结果里的分母2——每一项都除以2，所以不是直接的$x^{2+1$，而是$\frac{x}2+1}{2}$哦。

至于那个“+1”的去向：准确说是$\frac{1}{2}$被吸收到了积分常数$C$里。因为任意常数加上固定常数后还是任意常数，所以没必要单独写出来，用$C$统一表示就够了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者austintexis