如何基于已有引理完成素数p≥5时威尔逊定理的证明？

咱们就用你已经搞定的两个结论往下推，逻辑链很顺畅，一步步来：

第一步：拆解$(p-1)!$的乘积结构 #

首先，$(p-1)!$就是从1到$p-1$所有整数的连乘：
$$(p-1)! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (p-2) \times (p-1)$$

第二步：利用逆元配对抵消 #

根据你证的结论1：每个$1 \leq n \leq p-1$的整数，都存在唯一的$1 \leq k \leq p-1$使得$n \cdot k \equiv 1 \mod p$（也就是每个元素都有模$p$的乘法逆元）。

这意味着我们可以把1到$p-1$里的元素两两配对，每一对的乘积模$p$等于1——除了那些逆元是自身的元素，因为它们没法和别的元素配对，只能和自己相乘。

第三步：找出所有自逆元素 #

这时候就用到结论2了：如果$k^2 \equiv 1 \mod p$，那么$k \equiv \pm1 \mod p$。

在1到$p-1$的范围内，满足这个条件的只有两个数：

• $k=1$：$1^2=1 \equiv 1 \mod p$，它的逆元就是自己
• $k=p-1$：$(p-1)^2 = p^2 - 2p +1 \equiv 1 \mod p$，而$p-1 \equiv -1 \mod p$，本质上就是$(-1)^2=1$，它的逆元也是自己

也就是说，1到$p-1$里，只有1和$p-1$这两个元素的逆元是自身，剩下的所有元素都能两两配对成$(a, a^{-1})$，其中$a \neq a^{-1}$，且$a \cdot a^{-1} \equiv 1 \mod p$。

第四步：计算乘积模$p$的结果 #

现在把$(p-1)!$重新组合：
$$(p-1)! = \left( \prod_{\substack{1 < a < p-1 \ a \neq a^{-1}}} a \cdot a^{-1} \right) \times 1 \times (p-1)$$

每一组$a \cdot a^{-1}$的乘积都是$1 \mod p$，不管有多少组，它们的乘积还是$1 \mod p$。然后剩下的部分是$1 \times (p-1)$，而$p-1 \equiv -1 \mod p$，所以：
$$(p-1)! \equiv 1 \times 1 \times (-1) \equiv -1 \mod p$$

这样就完美推导出我们要的结论啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user7802048