关于定积分∫₋₁¹ arccos(x)/(1+x²)dx的求解方法问询

嘿，这个积分其实不用复杂的换元技巧，利用对称区间的性质和反余弦函数的基本特性就能轻松解决，我给你一步步拆解：

1. 先把积分拆成对称的两部分
   把原积分拆成[-1,0]和[0,1]两个子区间的和：
   $$I = \int_{-1}^{0} \frac{\arccos(x)}{1+x^2}dx + \int_{0}^{1} \frac{\arccos(x)}{1+x^2}dx$$
   我们把前半部分记为$I_1$，后半部分记为$I_2$，也就是$I = I_1 + I_2$。

2. 对左半区间做变量替换
   针对$I_1$，令$x = -t$，那么$dx = -dt$，当$x=-1$时$t=1$，$x=0$时$t=0$，代入后$I_1$就变成：
   $$I_1 = \int_{1}^{0} \frac{\arccos(-t)}{1+(-t)^2}(-dt) = \int_{0}^{1} \frac{\arccos(-t)}{1+t^2}dt$$

3. 用反余弦的性质化简
   这里要用到反余弦的一个关键性质：$\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$（因为$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$，而且$\arccos$的值域是$[0,\pi]$，所以这个等式成立）。把这个代入$I_1$：
   $$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{\pi - \arccos(t)}{1+t^2}dt = \pi\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt - \int_{0}^{1} \frac{\arccos(t)}{1+t^2}dt$$

4. 计算已知积分并合并结果
   先算$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt$，这是个标准积分，结果是$\arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}$，所以：
   $$I_1 = \pi \cdot \frac{\pi}{4} - I_2 = \frac{\pi^2}{4} - I_2$$

最后把$I_1$代回$I = I_1 + I_2$，你会发现$I_2$直接抵消了：
$$I = (\frac{\pi^2}{4} - I_2) + I_2 = \frac{\pi^2}{4}$$

是不是很巧妙？核心就是利用对称区间换元，把原本看起来复杂的积分项抵消掉，剩下的都是容易计算的标准积分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528021