用数学归纳法证明阶乘求和等式的推导步骤疑问

嘿，我来帮你理清这个变形的思路，其实这就是个提取公因式的小技巧，咱们一步步拆解清楚：

你困惑的变形步骤详解 #

看你给出的式子：$(k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$
这里面有两项都包含公因式$(k+1)!$——第一项的$(k+1)!$可以看成$1 \times (k+1)!$，第三项是$(k+1) \times (k+1)!$，而$-1$是独立的常数项。

这就和代数里的$a + b \times a = a(1 + b)$完全一样，这里的$a$就是$(k+1)!$，$b$就是$(k+1)$。所以我们可以把公因式$(k+1)!$提取出来：
$$(k+1)! \times 1 + (k+1) \times (k+1)! - 1 = (k+1)! \times [1 + (k+1)] - 1$$

是不是一下子就明白这个变形的逻辑了？接下来咱们把整个归纳证明的流程补全，确保你能彻底掌握：

完整的数学归纳法证明流程 #

1. 基础验证（n=1时） #

• 左边：$1 \cdot 1! = 1 \times 1 = 1$
• 右边：$(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$
  左边等于右边，等式在n=1时成立。

2. 归纳假设（假设n=k时等式成立） #

假设对于任意正整数$k$，以下等式成立：
$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + … + k \cdot k! = (k+1)! - 1$$

3. 归纳递推（证明n=k+1时等式成立） #

我们需要证明：
$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + … + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! - 1$$

根据归纳假设，前$k$项的和等于$(k+1)! - 1$，所以左边可以替换为：
$$(k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$$

接着用刚才的提取公因式技巧变形：
$$(k+1)! \times [1 + (k+1)] - 1 = (k+1)! \times (k+2) - 1$$

根据阶乘的定义，$(k+2) \times (k+1)! = (k+2)!$，代入后得到：
$$(k+2)! - 1$$

这正好等于右边的目标式，说明n=k+1时等式也成立。

综上，由数学归纳法可知，对于所有正整数$n$，等式$1 · 1! + 2 · 2! + … + n · n! = (n + 1)! − 1$恒成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528001