证明勒贝格积分定义的函数F(x)=∫₋∞ˣf(t)dt的连续性

其实用ε-δ定义来证明完全可行，而且逻辑链很清晰，我给你一步步梳理思路：

• 明确目标与差值化简
  我们要证对任意的$x_0 \in \mathbb{R}$，任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$|x - x_0| < \delta$时，$|F(x) - F(x_0)| < \epsilon$。
  先计算两个函数值的差：
  $$|F(x) - F(x_0)| = \left| \int_{-\infty}^x f(t)dt - \int_{-\infty}^{x_0} f(t)dt \right| = \int_{\min(x,x_0)}^{\max(x,x_0)} f(t)dt$$
  本质上就是$f$在区间$(x_0, x)$（或$(x, x_0)$）上的勒贝格积分，记这个区间为$E$，那么$\lambda(E) = |x - x_0|$，我们需要让这个积分小于$\epsilon$。

• 利用勒贝格可积的核心性质：绝对连续性
  因为$f \in L^1(\lambda)$，根据勒贝格积分的绝对连续性定理：对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要可测集$E$满足$\lambda(E) < \delta$，就有$\int_E f(t)dt < \epsilon$（这里$f$非负，所以$|f|=f$，直接适用）。

• 完成ε-δ的匹配
  取上面找到的$\delta$，当$|x - x_0| < \delta$时，区间$E=(x_0,x)$（或$(x,x_0)$）的测度$\lambda(E)=|x - x_0| < \delta$，代入绝对连续性的结论，就能得到$\int_E f(t)dt < \epsilon$，也就是$|F(x)-F(x_0)| < \epsilon$。

• 结论推广
  由于$x_0$是$\mathbb{R}$上的任意点，所以$F(x)$在整个实数轴上都是连续的。

如果对勒贝格积分的绝对连续性不熟悉，也可以从可积的定义出发推导这个性质：因为$f$可积，所以对任意$\epsilon>0$，存在简单函数$\phi \leq f$，使得$\int_{\mathbb{R}} (f - \phi)dt < \epsilon/2$，而简单函数在有界区间上的积分是一致连续的，再结合截断处理无穷区间的部分，最终也能得到同样的$\delta$，不过直接用绝对连续性会更简洁直接。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dr_kelly