求环$R$的极大理想个数及相关条件下的结论验证

问题1：求环$R$的极大理想个数？ #

这个问题没法直接给出固定答案，因为极大理想的个数完全取决于环$R$的具体结构，不同环的极大理想数量差异很大，举几个典型例子：

• 域（比如$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$）：域的真理想只有${0}$，且${0}$是极大理想（不存在比它更大的真理想），所以极大理想个数是1。
• 整数环$\mathbb{Z}$：每个素数$p$对应的主理想$(p)$都是极大理想，素数有无限个，因此$\mathbb{Z}$有无限个极大理想。
• 有限环$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$：它的极大理想是$(2)$和$(3)$，对应两个素因子，所以极大理想个数是2。
• 平凡环（仅含一个元素的环）：没有真理想，因此极大理想个数是0。

问题2：设$R$是含单位元的交换环，$I$是$R$的理想，且$R\setminus I$中任意元素在$R$中可逆，请问$R$的极大理想个数是多少？我认为是2，该结论是否正确？ #

你的结论不正确，实际上这种环的极大理想个数是1，唯一的极大理想就是$I$，推导如下：

1. 先证$I$是极大理想：
   假设存在理想$J$满足$I\subsetneq J\subseteq R$，取任意$j\in J\setminus I$，根据题设条件，$j$是可逆元。因为$J$是理想，可逆元$j\in J$意味着$1 = j^{-1} \cdot j \in J$，进而$J=R$（含单位元的环中，包含1的理想就是整个环）。所以不存在严格包含$I$的真理想，$I$是极大理想。

2. 再证$I$是唯一的极大理想：
   假设$M$是$R$的另一个极大理想，那么$M$是真理想，因此$M$中不可能包含可逆元（如果有可逆元$m\in M$，则$1 = m^{-1}\cdot m\in M$，会导致$M=R$，与$M$是真理想矛盾）。而根据题设，所有不在$I$里的元素都是可逆元，因此$M$中的元素都必须在$I$里（否则就会有可逆元在$M$中，产生矛盾），即$M\subseteq I$。
   又因为$M$是极大理想，$I$是真理想（$1\notin I$，因为1可逆，属于$R\setminus I$），所以$M$不可能等于$R$，只能$M=I$。

综上，这种环的极大理想只有$I$这一个，个数是1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user469754