若对Dom(f)内所有x满足$f(x)=f^{-1}(x)$，是否仅$f(x)=x$或$f(x)=-x$？还有其他吗？

嘿，这个问题问得相当到位——答案绝对是否定的，除了你提到的这两个函数，还有超多满足自身为逆函数（也就是自反函数，等价于$f(f(x))=x$对定义域内所有$x$成立）的函数。下面我举几个典型例子，再说说背后的逻辑：

1. 分段定义的自反函数 #

比如定义在全体实数上的函数：

f(x) = {
    1 - x, 当 x ∈ [0, 1]
    x,      当 x ∉ [0, 1]
}

验证一下：

• 如果$x$在$[0,1]$区间内，$f(x)=1-x$也在$[0,1]$，所以$f(f(x))=1-(1-x)=x$；
• 如果$x$不在$[0,1]$，$f(x)=x$，自然$f(f(x))=x$。
  完全满足$f(x)=f^{-1}(x)$，但它既不是$f(x)=x$也不是$f(x)=-x$。

2. 分式线性自反函数 #

分式线性函数里有一大类满足条件，比如：

f(x) = (1 - x)/(1 + x) （定义域：$x ≠ -1$）

代入验证$f(f(x))$：

f(f(x)) = [1 - (1-x)/(1+x)] / [1 + (1-x)/(1+x)] = [(2x)/(1+x)] / [(2)/(1+x)] = x

完美符合要求，这类函数的通用形式是$f(x)=(a x + b)/(c x - a)$（$a² + bc ≠ 0$），只要满足这个形式，都能成为自反函数。

3. 有限定义域上的自反函数 #

如果定义域是有限集合，比如${1,2,3}$，定义函数：

• $f(1)=2$
• $f(2)=1$
• $f(3)=3$
  这个函数的逆函数就是它自己：$f(f(1))=1$，$f(f(2))=2$，$f(f(3))=3$，显然和$f(x)=x$、$f(x)=-x$完全不同。

背后的核心逻辑 #

自反函数的本质是函数图像关于直线$y=x$对称——因为逆函数的图像就是原函数图像沿$y=x$翻转得到的，所以当函数自身是逆函数时，图像必然和自身关于$y=x$对称。$f(x)=x$和$f(x)=-x$只是这种对称图像里的两个特例，只要你构造的函数图像满足这个对称性质，同时符合函数的定义（每个$x$对应唯一的$y$），就都是合法的自反函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Umesh shankar