满足$T^2=Id$的线性算子必为正规算子吗？求解证明思路

嘿，我来帮你理清这个问题——其实满足$T^2=Id$的线性算子$T$不一定是正规算子哦，咱们不用硬凑证明，直接用反例就能打破这个误区。

首先先明确几个核心概念：

• 对合算子：满足$T^{2=Id$的线性算子（也就是你推导的$T=T}{-1}$）
• 正规算子：满足$TT^*=T*T$的线性算子（正交算子是正规算子的子类，要求$T^*=T{-1}$）

你之前的推导卡在了“从$(T^*)2=T^{2$推不出$T}=T^{-1}$或$TT=T^*T$”，这很正常，因为这两者本来就没有必然联系。咱们直接构造一个反例：

在二维实向量空间$\mathbb{R}^2$中，取线性算子$T$对应的矩阵为：

T = [[1, 1],
     [0, -1]]

先验证$T^2=Id$：
计算$T^2 = T \cdot T$：
$$
\begin{bmatrix}1&1\0&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11+10&11+1(-1)\01+(-1)0&01+(-1)(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix} = Id
$$
完全符合条件。接下来看它是不是正规算子：
实矩阵的伴随算子就是转置，所以$T^*$为：

T* = [[1, 0],
      [1, -1]]

计算$TT^*$和$TT$：
$$
TT^ = \begin{bmatrix}1&1\0&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&0\1&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&-1\-1&1\end{bmatrix}
$$
$$
T^T = \begin{bmatrix}1&0\1&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\1&2\end{bmatrix}
$$
显然$TT^ \neq T^*T$，所以这个$T$是对合算子，但不是正规算子。

再回头看你的推导：你说$T^{2$是正交算子，其实$T}2=Id$本身就是正交算子（因为$Id$的伴随就是自身，且$Id \cdot Id^{*=Id$），所以$(T}2)^*=(T2)^{{-1}$是成立的，但这只能推出$(T})^2=(T{-1})^{2$，而因为$T=T}{-1}$，所以$(T^*)2=T^{2=Id$，也就是$T}$也是对合算子，但这和“$T$与$T^*$交换”没有关系。

总结一下：对合算子（满足$T^{2=Id$）和正规算子是两个独立的概念，只有当对合算子额外满足$TT}=T^{*T$时，它才是正规算子（比如自伴对合算子$T=T}$，或者正交对合算子$T^*=T{-1}$），但存在大量不满足这个条件的对合算子，就像上面的例子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noa