关于向量运算$(a,b)$ op $(c,d)=(ac-bd,bc+ad)$的名称与几何意义问询

嘿，这个运算其实有个非常明确的专属名称——它就是复数乘法的向量形式！

咱们来拆解一下：在复数体系里，每个复数都可以写成 $a + bi$ 的形式（其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$），而如果把复数对应到平面直角坐标系中的向量 $(a,b)$，那两个复数相乘的展开式刚好就是你定义的运算：
$$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$$
把结果再转成向量形式，就是 $(ac - bd, bc + ad)$，完全和你写的 op 运算一致。

接下来聊聊它的几何意义，这也是复数乘法最有意思的地方：

• 缩放+旋转的复合变换：如果把向量 $(a,b)$ 看作平面上的一个点，它到原点的距离（复数的模长）是 $r_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$，和x轴正方向的夹角（复数的辐角）是 $\theta_1$；同理，向量 $(c,d)$ 的模长是 $r_2 = \sqrt{c^2 + d^2}$，辐角是 $\theta_2$。经过这个运算后，得到的新向量：
  • 模长是 $r_1 \times r_2$，也就是把原向量的长度放大（或缩小）了 $r_2$ 倍；
  • 辐角是 $\theta_1 + \theta_2$，也就是把原向量绕原点逆时针旋转了 $\theta_2$ 角度。
    顺序不影响结果——先缩放再旋转，和先旋转再缩放，得到的是同一个向量。
• 线性变换视角：这个运算也可以看作是平面上的线性变换，对应的变换矩阵是 $\begin{pmatrix} c & -d \ d & c \end{pmatrix}$，把向量 $(a,b)$ 左乘这个矩阵，就会直接得到运算结果。这个矩阵本身就是典型的旋转缩放矩阵，完美融合了旋转和缩放两种变换特性。

举个直观的例子：比如用向量 $(1,0)$（对应实数1，模长1，辐角0°）和向量 $(0,1)$（对应虚数i，模长1，辐角90°）做这个运算，结果是 $(0-0, 0+1)=(0,1)$——本质就是把x轴上的向量旋转90°到y轴；如果用向量 $(1,1)$（模长√2，辐角45°）和向量 $(\sqrt{2},0)$（模长√2，辐角0°）运算，结果是 $(1*\sqrt{2} -10, 10 +1*\sqrt{2})=(\sqrt{2},\sqrt{2})$，模长变成 $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2$，刚好是√2×√2，辐角还是45°，完全符合缩放的特性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Viktor K.