求集合A的基数：A = {x ⊆ ℝ : |x| < ℵ₀}，求解题思路

首先得给你点个赞——你已经找对了下界：每个实数的单元素集都属于A，所以|A|至少是连续统( c=|\mathbb{R}| )，这个思路完全没问题。接下来咱们把这个问题拆解清楚，直接算出它的准确基数，而不是停留在松弛的上界上。

先明确集合A的定义：它是所有实数的有限子集构成的集合（因为( |x|<\aleph_0 )意味着x是有限集，( \aleph_0 )是最小的无穷基数）。我们可以把A拆成可数个不交的子集的并：

• ( A_0 )：仅包含空集，基数( |A_0|=1 )
• ( A_n )：所有n元实数子集构成的集合，( n≥1 )

接下来逐个分析每个( A_n )的基数：
对于任意正整数n，考虑从( \mathbb{R} )中选n个元素的组合数( C(c, n) )（这里( c=|\mathbb{R}| )是连续统基数）。根据无穷基数的组合性质：当κ是无穷基数，n是有限基数时，( C(κ, n)=κ )。简单来说，从无穷多个元素里选有限个，选法的数量和原集合的基数一样大。你可以这么理解：每个n元子集都能对应到( \mathbb{R}^n )中的某个有序n元组（比如按从小到大排序后的元素），而( \mathbb{R}^n )的基数是c（因为( c^n=c )，无穷基数的有限次幂还是自身），同时单元素集的存在又保证了( |A_n|≥c )，所以( |A_n|=c )对每个( n≥1 )都成立。

现在计算整个A的基数：
A是( A_0∪A_1∪A_2∪… )，也就是可数个集合的并集。根据基数算术规则：可数个基数为c的集合的并集，基数还是c（因为( \aleph_0×c=c )，无穷基数乘以可数基数不改变其大小），再加上基数为1的( A_0 )，整体基数依然是c。

所以结论是：( |A|=c )，也就是和实数集的基数相等，刚好是连续统，比你之前想到的( \mathbb{R}^\mathbb{R} )的基数（( 2^c )）小得多。

最后补充一个验证思路：你可以把每个有限实数子集编码成一个实数。比如，对于有限子集( {x_1,x_2,…,x_n} )（按有理数逼近或者十进制展开的方式），把每个( x_i )的十进制展开用特殊分隔符（比如不会在实数展开中出现的序列）分开，再拼接成一个新的实数——这种编码是单射的，说明( |A|≤c )；而你已经知道( |A|≥c )，根据康托尔-伯恩斯坦定理，( |A|=c )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aemilius