n阶0-1-2实矩阵行列式平均值求解及命题真假判断

1. 计算集合S中矩阵行列式的平均值 #

首先明确：集合S包含所有元素仅为0、1、2的n×n实矩阵（n≥2）。我们可以通过配对对称法来推导平均值：

• 对于任意矩阵A∈S，定义它的配对矩阵A'：将A的前两行交换位置得到的新矩阵。显然A'也属于S，且这个配对是双向的——交换A'的前两行就回到原矩阵A。
• 对于配对中的两个不同矩阵A和A'，根据行列式的核心性质：交换矩阵的任意两行，行列式值变为原来的相反数，即 det(A') = -det(A)，因此这一对的行列式之和为 det(A) + det(A') = 0。
• 对于那些和自身配对的矩阵（也就是前两行完全相同的矩阵），根据行列式基本规则：若矩阵中有两行完全相等，行列式值必为0。

集合S中的所有矩阵要么属于这样“和为0”的配对组，要么是自身配对的行列式为0的矩阵。因此，所有矩阵的行列式总和为0。而S中矩阵的总数是 3^(n²)（有限且不为0），所以平均值就是 0 / 3^(n²) = 0。

2. 判断命题真假 #

命题：设n≥2为自然数，S是所有元素仅为0、1、2的n×n实矩阵集合，则S中矩阵行列式的平均值大于等于1。

结论：该命题为假。

由第一部分的推导可知，平均值为0，显然0 < 1，完全不满足“大于等于1”的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anu