求逆时针旋转45°且缩放因子为√8的2×2旋转缩放矩阵

别慌！我来一步步带你推导这个矩阵，其实原理没那么复杂，咱们拆解开来就懂了～

第一步：先搞清楚基础的2D旋转矩阵 #

对于平面上的逆时针旋转θ角，对应的2×2旋转矩阵是这个形式：

[ cosθ  -sinθ ]
[ sinθ   cosθ ]

这里咱们的旋转角度是45°，cos45°和sin45°的值都是√2/2（约0.7071）。把θ=45°代入后，旋转矩阵就变成：

[ √2/2  -√2/2 ]
[ √2/2   √2/2 ]

第二步：理解均匀缩放矩阵 #

均匀缩放（x和y方向缩放比例相同）的矩阵很简单，缩放因子为s时，矩阵是：

[ s   0 ]
[ 0   s ]

题目里的缩放因子是√8，可以化简为2√2，这个化简会让后续计算更方便。

第三步：结合旋转与缩放得到目标矩阵 #

旋转和均匀缩放都是线性变换，我们可以通过矩阵相乘得到组合变换的矩阵。这里因为是均匀缩放，不管先旋转再缩放还是先缩放再旋转，结果都是一致的（均匀缩放矩阵和旋转矩阵可交换）。

最直接的方式就是把旋转矩阵的每个元素都乘以缩放因子s=2√2：

• 第一个元素：(√2/2) * 2√2 = (2 * √2 * √2)/2 = (2*2)/2 = 2
• 第二个元素：(-√2/2) * 2√2 = -2
• 第三个元素：(√2/2) * 2√2 = 2
• 第四个元素：(√2/2) * 2√2 = 2

所以最终的旋转缩放矩阵就是：

[ 2  -2 ]
[ 2   2 ]

验证一下变换效果 #

咱们拿点(1, 0)来测试：

• 原向量[1, 0]和目标矩阵相乘后，得到[2*1 + (-2)*0, 2*1 + 2*0] = [2, 2]
• 这个点的长度是√(2²+2²)=√8，正好符合缩放因子；同时它和x轴的夹角是45°，确实是逆时针旋转后的结果，完全正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adam