二阶非齐次ODE初值问题：特解选择困惑求助

首先得纠正一个小失误：你的齐次解写错啦！原方程是 $y''(t) - 6y'(t) + 9y(t) = 18$，对应的特征方程是 $r^2 -6r +9=0$，解出来是二重根 $r=3$，所以齐次解应该是 $c_1e^{3t} + c_2te^{3t}$，不是你写的 $c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$，这个小差错可能是后续觉得和初始条件不匹配的原因哦。

回到你关心的特解问题：方程右端是常数18，你考虑设常数 $K$ 作为特解，这个思路完全正确！因为齐次解里全是指数形式（带t的指数项也不会出现常数），不存在和常数项线性相关的解，所以这个特解形式是可行的。

把 $y_p=K$ 代入原方程：

• $y_p''=0$，$y_p'=0$，代入后得到 $0 - 0 +9K=18$，解得 $K=2$，所以特解就是 $y_p=2$。

现在通解就是齐次解加特解：
$$y(t) = c_1e^{3t} + c_2te^{3t} + 2$$

接下来用初始条件确定常数：

1. 代入 $y(0)=2$：
   $c_1e^{0} + c_20e^{0} +2 = 2$，化简得 $c_1 +2=2$，所以 $c_1=0$。
2. 先对通解求导：
   $y'(t) = 3c_1e^{3t} + c_2e^{3t} + 3c_2te^{3t}$
   代入 $y'(0)=1$：
   $3c_1e^{0} + c_2e^{0} + 0 =1$，因为 $c_1=0$，所以 $c_2=1$。

最终的解就是：
$$y(t)=te^{3t} + 2$$

你之前觉得和初始条件不匹配，大概率是齐次解写错导致的，修正后再计算就完全符合初始条件啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbgult