若f(x)在区间[a,b]严格递增，g(x)=(f(x))²的单调性如何？

问题：在区间[a,b]内，g(x)是递增、递减还是无法判断其单调性？
我的尝试：若f(x)在[a,b]上严格递增，则f'(x)>0；计算得g'(x)=2*f'(x)（疑似笔误），因f(x)在该区间大于0，故g'(x)>0，g(x)也严格递增，但教材指出g(x)的单调性无法确定……

嘿，我来帮你理清楚这里的问题所在！

首先，你在导数计算上大概率犯了个笔误——如果g(x)是[f(x)]²的话，根据链式法则，正确的导数应该是 g'(x) = 2f(x)f'(x)，而不是你写的2*f'(x)，这是第一个关键的小错误。

接下来，你默认了f(x)在[a,b]上恒大于0，但题目里并没有给出这个条件！这就是为什么教材说单调性无法确定的核心原因，我给你举几个具体例子就明白了：

• 例子1：当f(x)严格递增且恒正，比如f(x)=x在区间[0,1]上，此时g(x)=x²的导数g'(x)=2x>0，g(x)严格递增；
• 例子2：当f(x)严格递增且恒负，比如f(x)=x在区间[-2,-1]上，此时g(x)=x²的导数g'(x)=2x<0，g(x)严格递减；
• 例子3：当f(x)严格递增但区间内有正有负，比如f(x)=x-1在区间[0,2]上，g(x)=(x-1)²在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，整个区间没法统一判断单调性。

所以总结一下：仅知道f(x)在[a,b]上严格递增，我们无法确定f(x)的符号，也就没法确定g'(x)=2f(x)f'(x)的正负性，自然无法判断g(x)在整个区间[a,b]上的单调性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arun Bhagat