素域上满足AᵀA=-I的2×2斜正交矩阵计数证明问询

嘿，咱们一步步来拆解这个问题——给定奇素数p>2，求有限域Z_p里满足AᵀA=-I的2×2矩阵A的数量。已知这个数量是同余式x²+y²≡-1(mod p)解数的2倍，最终分两种情况得到结果，咱们来详细推导：

第一步：将矩阵条件转化为向量正交条件 #

设2×2矩阵 ( A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} )，其中 ( a,b,c,d \in \mathbb{Z}_p )。计算 ( A^T A )：
[
A^T A = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}
]
要求 ( A^T A = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} )，因此得到三个方程：

• ( a^2 + c^2 = -1 )（主对角线第一个元素相等）
• ( ab + cd = 0 )（非对角线元素为0）
• ( b^2 + d^2 = -1 )（主对角线第二个元素相等）

把矩阵的列向量记为 ( \boldsymbol{v} = (a,c) ) 和 ( \boldsymbol{w} = (b,d) )，上述条件可以转化为：

1. 列向量的自点积为-1：( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} = -1 )，( \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{w} = -1 )
2. 列向量正交：( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} = 0 )

第二步：每个合法列向量对应2个正交列向量 #

对于任意满足 ( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} = -1 ) 的向量 ( \boldsymbol{v} = (a,c) )（显然 ( \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0} )，因为 ( -1 \not\equiv 0 \mod p )），我们来找满足条件的 ( \boldsymbol{w} )：

在2维有限域空间中，( \boldsymbol{v} ) 的正交补是1维子空间，所有与 ( \boldsymbol{v} ) 正交的向量都可以表示为 ( k \cdot (c, -a) )（因为 ( (a,c) \cdot (c,-a) = ac - ca = 0 )），其中 ( k \in \mathbb{Z}_p )。

将 ( \boldsymbol{w} = k(c,-a) ) 代入自点积条件 ( \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{w} = -1 )：
[
(kc)^2 + (-ka)^2 = k^2(c2 + a^2) = k^2 \cdot (-1) \equiv -1 \mod p
]
两边乘以-1得 ( k^2 \equiv 1 \mod p )，在奇素数域中，这个方程恰好有两个解：( k=1 ) 和 ( k=-1 )。

这意味着每个满足 ( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} = -1 ) 的向量 ( \boldsymbol{v} )，恰好对应2个合法的正交向量 ( \boldsymbol{w} )，进而对应2个满足条件的矩阵A。反过来，每个满足条件的矩阵A由它的第一个列向量 ( \boldsymbol{v} ) 和对应的 ( k ) 唯一确定，不会重复。

因此，满足条件的矩阵总数 = 2 × 同余式 ( x^2 + y^2 \equiv -1 \mod p ) 的解数（记这个解数为N）。

第三步：计算同余式 ( x^2 + y^2 \equiv -1 \mod p ) 的解数N #

我们利用Legendre符号 ( \chi(n) ) 来计算解数：对于任意 ( n \in \mathbb{Z}_p )，( \chi(n)=1 ) 如果n是二次剩余，( \chi(n)=-1 ) 如果n是二次非剩余，( \chi(0)=0 )。

对于每个固定的x，方程 ( y^2 \equiv -1 -x^2 \mod p ) 的解数为 ( 1 + \chi(-1 -x^2) )，因此总解数：
[
N = \sum_{x \in \mathbb{Z}p} \left[ 1 + \chi(-1 -x^2) \right] = p + \sum{x \in \mathbb{Z}_p} \chi(-1 -x^2)
]

令 ( S = \sum_{x \in \mathbb{Z}_p} \chi(-1 -x^2) )，我们分两种情况计算S：

情况1：( p \equiv 1 \mod 4 ) #

此时-1是二次剩余（因为乘法群是循环群，阶p-1是4的倍数，存在元素t使得t²=-1），因此 ( \chi(-1)=1 )。

将 ( -1 -x^2 = -(1+x^2) ) 代入S：
[
S = \chi(-1) \sum_{x \in \mathbb{Z}p} \chi(1+x^2) = \sum{x \in \mathbb{Z}p} \chi(1+x^2)
]
利用循环群性质，( 1+x^2=(x-t)(x+t) )（t²=-1），通过变量替换可证 ( \sum{x \in \mathbb{Z}_p} \chi(1+x^2) = -1 )，因此 ( S=-1 )，代入N得：
[
N = p - 1
]

情况2：( p \equiv 3 \mod 4 )（即 ( p \equiv -1 \mod 4 )） #

此时-1是二次非剩余，( \chi(-1)=-1 )。同样代入S：
[
S = \chi(-1) \sum_{x \in \mathbb{Z}p} \chi(1+x^2) = -\sum{x \in \mathbb{Z}p} \chi(1+x^2)
]
通过特征和计算可证 ( \sum{x \in \mathbb{Z}_p} \chi(1+x^2) = -1 )，因此 ( S=-(-1)=1 )，代入N得：
[
N = p + 1
]

第四步：得到矩阵总数 #

结合第二步的结论，矩阵总数为2N：

• 当 ( p \equiv 1 \mod 4 ) 时，总数为 ( 2(p-1) )
• 当 ( p \equiv -1 \mod 4 ) 时，总数为 ( 2(p+1) )

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527453