关于检验功效函数Q(θ)=1-Φ(22.5-3θ)及Q(θ₁)=1-β的疑问

一、为什么$Q(\theta_1)=1-\beta$？ #

咱们把两个核心定义摆在一起对照，就一目了然了：

• 功效函数$Q(\theta)$的本质是当真实参数为$\theta$时，拒绝原假设$H_0$的概率，也就是$Q(\theta)=P_\theta(\mathcal{R})$，其中$\mathcal{R}$代表拒绝域。
• 第二类错误概率$\beta$的定义是当备择假设$H_1$为真（也就是真实参数$\theta=\theta_1=8$）时，错误接受$H_0$的概率，即$\beta=P(\text{接受}H_0 \mid H_1\text{为真})$。

当$H_1$为真时，只有两种可能的结果：要么拒绝$H_0$，要么接受$H_0$，这两个事件是完全对立的，概率之和必然是1。所以此时拒绝$H_0$的概率（也就是$Q(\theta_1)$），自然等于1减去接受$H_0$的概率（也就是$\beta$），即$Q(\theta_1)=1-\beta$。

二、为什么$Q(\theta)=1-\Phi(22.5-3\theta)$，系数3怎么来的？ #

咱们从样本均值的分布开始一步步推导，就能搞懂系数的来源：

1. 已知总体$X_i \sim N(\theta,1)$，样本量$n=9$，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^9 X_i$。根据正态分布的性质，样本均值的分布依然是正态分布：

   • 均值：$E(\bar{X})=\theta$（和总体均值保持一致）
   • 方差：$Var(\bar{X})=\frac{Var(X_i)}{n}=\frac{1}{9}$，因此标准差为$\frac{1}{3}$
     简单说就是$\bar{X} \sim N\left(\theta, \frac{1}{9}\right)$

2. 功效函数$Q(\theta)=P_\theta(\bar{X}>7.5)$，要计算这个概率，我们需要把$\bar{X}$标准化为标准正态分布$Z \sim N(0,1)$，标准化的公式是：
   $$Z=\frac{\bar{X} - E(\bar{X})}{\sqrt{Var(\bar{X})}}=\frac{\bar{X}-\theta}{\frac{1}{3}}=3(\bar{X}-\theta)$$

3. 把$\bar{X}>7.5$代入标准化后的式子：
   $$P(\bar{X}>7.5)=P\left(3(\bar{X}-\theta) > 3(7.5-\theta)\right)=P(Z>22.5-3\theta)$$

4. 标准正态分布的分布函数$\Phi(z)=P(Z\leq z)$，所以$P(Z>z)=1-\Phi(z)$，代入上式就得到：
   $$Q(\theta)=1-\Phi(22.5-3\theta)$$

这里的系数3，本质是样本均值标准差的倒数：因为样本均值的标准差是$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{3}$，标准化时需要除以这个标准差，也就是乘以3，所以θ前面就出现了系数3。

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